[petras]

En la figura ABCD es un cuadrado. Calcula AB sabiendo que \( \frac{1}{(BM)^2}+\frac{1}{(BN)^2} = \frac{1}{25} \) (R:\( AB=5 \))



Éstas son las relaciones que he encontrado

Sea \( l \) el lado del cuadrado
\( 25(BM^2+BN^2)=BM^2.BN^2 \implies BN.BM = 5\sqrt{(BM^2+BN^2)} \\
\triangle ABN \sim \triangle DMN : \frac{l}{(l+DN)}=\frac{DM}{DN}\implies DM=\frac{1}{1+DN}\\
({DN+\frac{l} {2}})^2=MN.BN\implies DN^2+DNl+\frac{l^2}{4}=MN.BN\\
\angle BDN = 135^o \implies BN^2 = (l\sqrt2)^2+DN^2-2.l\sqrt2.DN.\frac{-\sqrt2}{2}=2l^2+DN^2+2lDN   \)

[Luis Fuentes]

Hola

En la figura ABCD es un cuadrado. Calcula AB sabiendo que \( \frac{1}{(BM)^2}+\frac{1}{(BN)^2} = \frac{1}{25} \) (R:\( AB=5 \))



Éstas son las relaciones que he encontrado

Tienes que los triángulos \( BMC \) y \( BNA \) son semejantes de donde:

\( \dfrac{BM}{l}=\dfrac{\color{red}\cancel{BN^2}BN\color{black}}{l+DN} \)

de donde:

\( \dfrac{1}{BM}=\dfrac{l+DN}{l\cdot BN} \)

y sustituyendo en \( \dfrac{1}{(BM)^2}+\dfrac{1}{(BN)^2} = \dfrac{1}{25} \):

\( \dfrac{(l+DN)^2+l^2}{l^2}=\dfrac{BN^2}{25} \)

Pero como el triángulo \( ABN \) es rectángulo, \( l^2+(l+DN)^2=BN^2 \) y queda:

\( \dfrac{BN^2}{l^2}=\dfrac{BN^2}{25} \)

de donde \( l=5 \).

Saludos.

CORREGIDO

[petras]

Hola

En la figura ABCD es un cuadrado. Calcula AB sabiendo que \( \frac{1}{(BM)^2}+\frac{1}{(BN)^2} = \frac{1}{25} \) (R:\( AB=5 \))



Éstas son las relaciones que he encontrado

Tienes que los triángulos \( BMC \) y \( BNA \) son semejantes de donde:

\( \dfrac{BM}{l}=\dfrac{BN^2}{l+DN} \)

de donde:

\( \dfrac{1}{BM}=\dfrac{l+DN}{l\cdot BN} \)

y sustituyendo en \( \dfrac{1}{(BM)^2}+\dfrac{1}{(BN)^2} = \dfrac{1}{25} \):

\( \dfrac{(l+DN)^2+l^2}{l^2}=\dfrac{BN^2}{25} \)

Pero como el triángulo \( ABN \) es rectángulo, \( l^2+(l+DN)^2=BN^2 \) y queda:

\( \dfrac{BN^2}{l^2}=\dfrac{BN^2}{25} \)

de donde \( l=5 \).

Saludos.

Hola, agradecido mas podría aclarar:

\( \dfrac{BM}{l}=\dfrac{BN^2}{l+DN} \implies \dfrac{1}{BM}=\dfrac{l+DN}{l⋅BN} \implies BN.l = BN^2.l?? \)

¿Cómo ha conseguido este resultado?
\( \dfrac{(l+DN)^2+l^2}{l^2}=\dfrac{BN^2}{25} \)

Saludos.
 

[Luis Fuentes]

Hola

Hola, agradecido mas podría aclarar:

\( \dfrac{BM}{l}=\dfrac{BN^2}{l+DN} \implies \dfrac{1}{BM}=\dfrac{l+DN}{l⋅BN} \implies \color{red}BN.l = BN^2.l\color{black}?? \)

No se de donde sacas lo que he marcado en rojo.

¿Cómo ha conseguido este resultado?
\( \dfrac{(l+DN)^2+l^2}{l^2}=\dfrac{BN^2}{25} \)

Tenemos que: \( \dfrac{1}{BM}=\dfrac{l+DN}{l\cdot BN} \)

y también que: \( \dfrac{1}{(BM)^2}+\dfrac{1}{(BN)^2} = \dfrac{1}{25} \)

Sustituyendo:

\( \dfrac{(l+DN)^2}{l^2\cdot BN^2}+\dfrac{1}{(BN)^2}=\dfrac{1}{25} \)

\( \dfrac{(l+DN)^2}{l^2}+1=\dfrac{BN^2}{25} \)

\( \dfrac{(l+DN)^2+l^2}{l^2}=\dfrac{BN^2}{25} \)

Saludos.

[petras]

Hola

Hola, agradecido mas podría aclarar:

\( \dfrac{BM}{l}=\dfrac{BN^2}{l+DN} \implies \dfrac{1}{BM}=\dfrac{l+DN}{l⋅BN} \implies \color{red}BN.l = BN^2.l\color{black}?? \)

No se de donde sacas lo que he marcado en rojo.

¿Cómo ha conseguido este resultado?
\( \dfrac{(l+DN)^2+l^2}{l^2}=\dfrac{BN^2}{25} \)

Tenemos que: \( \dfrac{1}{BM}=\dfrac{l+DN}{l\cdot BN} \)

y también que: \( \dfrac{1}{(BM)^2}+\dfrac{1}{(BN)^2} = \dfrac{1}{25} \)

Sustituyendo:

\( \dfrac{(l+DN)^2}{l^2\cdot BN^2}+\dfrac{1}{(BN)^2}=\dfrac{1}{25} \)

\( \dfrac{(l+DN)^2}{l^2}+1=\dfrac{BN^2}{25} \)

\( \dfrac{(l+DN)^2+l^2}{l^2}=\dfrac{BN^2}{25} \)

Saludos.

Su primera igualdad fue: \( \dfrac{BM}{l}=\dfrac{BN^2}{l+DN} \) por lo tanto\(  BM(l+DN) = BN^2.l(I) \)

Luego pones \( \dfrac{1}{BM}=\dfrac{l+DN}{l\cdot BN} \)  por lo tanto \( BM.(l+DN) = l.BN(II)\\
(I)y(II): \color{red}BN^2.l = BN.l \)

¿De dónde surge \( BN^2  \)en la similitud?

Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

Su primera igualdad fue: \( \dfrac{BM}{l}=\dfrac{\color{red}BN^2\color{black}}{l+DN} \) por lo tanto\(  BM(l+DN) = BN^2.l(I) \)

¡Claramente fue una errata!. El cuadrado sobra. Lo he corregido en el mensaje orginal.

Sin embargo me sorprende que no te dieses cuenta de que era una errata. Basta que te fijes en el razonamiento más natural. Digo que los  triángulos \( BMC \) y \( BNA \) son semejantes y

\( BM \) es la hipotenusa de \( BMC \)
\( l=BC \) es el cateto mayor de \( BMC \)

Los equivalentes son:

\( BN \) es la hipotenusa de \( BNA \)
\( l+DN=AN \) es el cateto mayor de \( BNA \)

Debes de leer las respuesta intentado reproducir por ti mismo los razonamientos.

Saludos.

[petras]

Hola

Su primera igualdad fue: \( \dfrac{BM}{l}=\dfrac{\color{red}BN^2\color{black}}{l+DN} \) por lo tanto\(  BM(l+DN) = BN^2.l(I) \)

¡Claramente fue una errata!. El cuadrado sobra. Lo he corregido en el mensaje orginal.

Sin embargo me sorprende que no te dieses cuenta de que era una errata. Basta que te fijes en el razonamiento más natural. Digo que los  triángulos \( BMC \) y \( BNA \) son semejantes y

\( BM \) es la hipotenusa de \( BMC \)
\( l=BC \) es el cateto mayor de \( BMC \)

Los equivalentes son:

\( BN \) es la hipotenusa de \( BNA \)
\( l+DN=AN \) es el cateto mayor de \( BNA \)

Debes de leer las respuesta intentado reproducir por ti mismo los razonamientos.

Saludos.

Gracias, pensé que había visto alguna otra relación que yo no había notado