[David.O]

Buenas tardes, me pueden ayudar con este ejercicio por favor.

Utilice una serie de Laurent para encontrar el residuo indicado.

\( f\left(z\right)=\frac{1}{z^3\left(1-z\right)^3},\:Res\left(f\left(z\right),0\right) \)

Espero que puedan ayudarme, gracias.

[Masacroso]

Buenas tardes, me pueden ayudar con este ejercicio por favor.

Utilice una serie de Laurent para encontrar el residuo indicado.

\( f\left(z\right)=\frac{1}{z^3\left(1-z\right)^3},\:Res\left(f\left(z\right),0\right) \)

Espero que puedan ayudarme, gracias.

Una forma sencilla de hallar la serie de Laurent de \( f \) entorno al cero en el ánulo \( \mathbb{B}(0,1)\setminus \{0\} \) es primero hallar la serie de potencias que representa a \( (1-z)^{-3} \) cerca de cero y luego multiplicarla por \( z^{-3} \). Para lo primero te dejo como pista que \( \frac{d}{d z}(1-z)^{-k}=k(1-z)^{-k-1} \) para \( k>0 \).

[ingmarov]

Hola

Buenas tardes, me pueden ayudar con este ejercicio por favor.

Utilice una serie de Laurent para encontrar el residuo indicado.

\( f\left(z\right)=\frac{1}{z^3\left(1-z\right)^3},\:Res\left(f\left(z\right),0\right) \)

Espero que puedan ayudarme, gracias.

Si escribes la expresión en fracciones simples (fracciones parciales) creo que será fácil encontrar la serie y el residuo.

Editado

Tendrás

\[ \dfrac{1}{z^3(1-z)^3}=\dfrac{A}{z}+\dfrac{B}{z^2}+\dfrac{C}{z^3}+\dfrac{D}{(1-z)}+\dfrac{E}{(1-z)^2}+\dfrac{F}{(1-z)^3} \]

El residuo, para z=0, será A.

Saludos

[David.O]

Hola, yo lo que realicé fue la formula de un residuo de orden n.

\( Res\left(f\left(z\right),z_0\right)=\frac{1}{\left(n-1\right)!}\cdot \lim _{z\to z_0}\:\frac{d^{n-1}}{dz^{n-1}}\left(z-z_0\right)^nf\left(z\right) \) y el valor de ese residuo me dio 6.

Me coloqué a repartir la función f(z)

\( f\left(z\right)=\frac{1}{z^3}\cdot \frac{1}{\left(1-z\right)^3} \)

Y se que puedo representar esa serie de la forma:

\( \frac{1}{\left(1-z\right)^3}= \sum _{n=2}^{\infty }\left(\frac{n\left(n-1\right)}{2}\:x^{n-2}\right) \)

Pero realizando, no llego al resultado que da el libro (A First Course in Complex Analysis with Applications de Zill y Shanahan):

\( \left(fz\right)=\frac{1}{z^3}\left(1-z\right)^{-3}=\frac{1}{z^3}\left(1+\left(-3\right)\left(-z\right)+\frac{\left(-3\right)\left(-4\right)}{2!}\left(-z\right)^2+\frac{\left(-3\right)\left(-4\right)\left(-5\right)}{3!}\left(-z\right)^3+...\right) \)

[Masacroso]

Hola, yo lo que realicé fue la formula de un residuo de orden n.

\( Res\left(f\left(z\right),z_0\right)=\frac{1}{\left(n-1\right)!}\cdot \lim _{z\to z_0}\:\frac{d^{n-1}}{dz^{n-1}}\left(z-z_0\right)^nf\left(z\right) \) y el valor de ese residuo me dio 6.

Me coloqué a repartir la función f(z)

\( f\left(z\right)=\frac{1}{z^3}\cdot \frac{1}{\left(1-z\right)^3} \)

Y se que puedo representar esa serie de la forma:

\( \frac{1}{\left(1-z\right)^3}= \sum _{n=2}^{\infty }\left(\frac{n\left(n-1\right)}{2}\:x^{n-2}\right) \)

Pero realizando, no llego al resultado que da el libro (A First Course in Complex Analysis with Applications de Zill y Shanahan):

\( \left(fz\right)=\frac{1}{z^3}\left(1-z\right)^{-3}=\frac{1}{z^3}\left(1+\left(-3\right)\left(-z\right)+\frac{\left(-3\right)\left(-4\right)}{2!}\left(-z\right)^2+\frac{\left(-3\right)\left(-4\right)\left(-5\right)}{3!}\left(-z\right)^3+...\right) \)

Es el mismo resultado el que tú obtienes y el del libro.

[ingmarov]

Hola

...
Me coloqué a repartir la función f(z)

\( f\left(z\right)=\frac{1}{z^3}\cdot \frac{1}{\left(1-z\right)^3} \)

Y se que puedo representar esa serie de la forma:

\( \frac{1}{\left(1-z\right)^3}= \sum _{n=2}^{\infty }\left(\frac{n\left(n-1\right)}{2}\:x^{n-2}\right) \)

Pero realizando, no llego al resultado que da el libro (A First Course in Complex Analysis with Applications de Zill y Shanahan):

\( \left(fz\right)=\frac{1}{z^3}\left(1-z\right)^{-3}=\frac{1}{z^3}\left(1+\left(-3\right)\left(-z\right)+\frac{\left(-3\right)\left(-4\right)}{2!}\left(-z\right)^2+\frac{\left(-3\right)\left(-4\right)\left(-5\right)}{3!}\left(-z\right)^3+...\right) \)

A ver si tenemos

\( f(z)=\frac{1}{\left(1-z\right)^3}=a_0+a_1z+a_2z^2+\ldots \)

\[ f(0)=1=a_0 \]

\[ f'(z)=3(1-z)^{-4}\qquad\Rightarrow\qquad f'(0)=3=a_1 \]

\[ f''(z)=12(1-z)^{-5}\qquad\Rightarrow\qquad f''(0)=12=2a_2\qquad\Rightarrow\qquad\bf  a_2=6 \]


Entonces el residuo buscado es igual a seis.

Saludos

[David.O]

Hola,

Me ha resultado de mucha ayuda los comentarios de todos ustedes.

Muchas gracias.