[Enrique Rosas]

Usando que \( 1 \) es el mínimo de la función \( f(x,y)=\frac{x^p}{p}+\frac{y^q}{q} \) sujeta a la restricción \( xy=1 \) , donde \( p,q>0 \) y \( \frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1 \), demuestre que si \( a,b \) son reales no negativos, entonces \( ab\leq\frac{a^p}{p}+\frac{b^q}{q} \).

[Luis Fuentes]

Hola

Usando que \( 1 \) es el mínimo de la función \( f(x,y)=\frac{x^p}{p}+\frac{y^q}{q} \) sujeta a la restricción \( xy=1 \) , donde \( p,q>0 \) y \( \frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1 \), demuestre que si \( a,b \) son reales no negativos, entonces \( ab\leq\frac{a^p}{p}+\frac{b^q}{q} \).

Aplica el mínimo dado a:

\( x=\dfrac{a}{(ab)^{1/p}} \)
\( y=\dfrac{b}{(ab)^{1/q}} \)

Saludos.

[Enrique Rosas]

Al multiplicar \( xy=\frac{ab}{(ab)^{1/p+1/q}}=\frac{ab}{ab}=1 \), entonces \( xy=1\leq \frac{x^p}{p}+\frac{y^q}{q}=\frac{a^p}{pab}+\frac{b^q}{qab} \), al multiplicar ambos lados por \( ab \) concluimos lo deseado.
¿Está bien?

[Luis Fuentes]

Hola

Al multiplicar \( xy=\frac{ab}{(ab)^{1/p+1/q}}=\frac{ab}{ab}=1 \), entonces \( xy=1\leq \frac{x^p}{p}+\frac{y^q}{q}=\frac{a^p}{pab}+\frac{b^q}{qab} \), al multiplicar ambos lados por \( ab \) concluimos lo deseado.
¿Está bien?

Correcto.

Saludos.

[Enrique Rosas]

Muchas gracias.