Necesito probar el siguiente resultado: Si \( a,b:X\to \mathbb{S}^n \) (\( X \) una variedad) , si \( a(x)\neq -b(x) \) para todo \( x\in X \) entonces la función \( h:X\times [0,1] \to X \) dada por \( h(x,t)=ta(x)-(1-t)b(x) \) no se anula.
Supongo que querías poner \( h:X\times [0,1] \to {\color{red}\Bbb R^{n+1}} \). Además el enunciado está mal: o bien la homotopía es \( h(x,t)=ta(x){\color{red}+}(1-t)b(x) \) o bien la condición debe ser \( a(x) \neq b(x) \). Porque tal como está, tomando \( b(x)=a(x) \) y \( t=1/2 \) la función se anula.
La intuición geométrica es muy sencilla. Dados dos puntos \( p,q \in S^n \), la expresión \( tp+(1-t)q \) corresponde al segmento de recta que une \( p \) con \( q \) cuando \( t \) varía entre \( 0 \) y \( 1 \). Y está claro que este segmento pasa por el origen si y sólo si \( p,q \) son puntos antipodales de la esfera.
También se puede ver algebraicamente. Si existe \( t \in (0,1) \) tal que \( tp+(1-t)q=0 \) (ya que esto no puede pasar si \( t=0,1 \)) tienes que \( q=-\frac{t}{1-t}p \), y tomando normas y usando \( ||p||=||q||=1 \), se obtiene que debe ser \( t=\frac12 \), de donde \( p=-q \).
