[Albersan]

Hola:

Tengo un problema que dice lo siguiente:

Encuentre el valor máximo absoluto de \( f \) sujeta a la restricción:

\( f(x,y,z)=xyz \),     \( x\geq{0} \),     \( y\geq{0} \),     \( z\geq{0} \).     \( 2xy+3xz+yz=72 \).

¿Cómo puedo demostrar que el punto \( (2,6,4) \) obtenido mediante multiplicadores de Lagrange es un máximo absoluto?


Gracias, Saludos.

[Luis Fuentes]

Hola

Hola:

Tengo un problema que dice lo siguiente:

Encuentre el valor máximo absoluto de \( f \) sujeta a la restricción:

\( f(x,y,z)=xyz \),     \( x\geq{0} \),     \( y\geq{0} \),     \( z\geq{0} \).     \( 2xy+3xz+yz=72 \).

¿Cómo puedo demostrar que el punto \( (2,6,4) \) obtenido mediante multiplicadores de Lagrange es un máximo absoluto?

Gracias, Saludos.

Si el recinto (cerrado) estuviese acotado, los máximos y mínimos se alcanzan o bien en la frontera o bien en los puntos críticos obtenidos por Lagrange.

En este caso la frontera es fácil de analizar; pero el problema está en que el recinto no es acotado. Eso complica las cosas y obliga a estudiar que ocurre cuando \( x,y,z\to \infty. \)

Ahora de la igualdad \( 2xy+3xz+yz=72 \) es fácil ver que \( 72\geq 2xy \) y  \( 72\geq 3xz \) . Por tanto \( y\leq 36/x \) y \( z\leq 24/x \). Y entonces \( f(x,y,z)\leq \dfrac{36\dot 24}{x} \). Por tanto cuando \( x\to \infty \) el producto tiende a cero y no pude superar el máximo que da Lagrange.

Se puede hacer algo análogo con las otras dos variables \( y,z \).

Saludos.

P.D. Un camino alternativo es usar la desigualdad aritmético-geométrica:

\( 6f(x,y,z)^2=(2xy)(3xz)(yz)\leq \left(\dfrac{2xy+3yz+yz}{3}\right)^3=24^3 \)

de donde\(  f(x,y,z)\leq 48. \). Además la igualdad se alcanza cuando \( 2xy=3xz=yz=72/3 \) y eso equivale a \( (x,y,z)=(2,6,4). \)

[Albersan]

Hola gracias,


Quisiera saber si entendí:

Tengo un punto crítico \( (x,y,z)=(2,6,4) \), pero no sé si se trata, de un máximo o mínimo absoluto.  Y además \( f(x,y,z)=xyz\leq{\displaystyle\frac{864}{x}} \), según:

Ahora de la igualdad \( 2xy+3xz+yz=72 \) es fácil ver que \( 72≥2xy \) y  \( 72≥3xz \) . Por tanto \( y≤36/x \) y \( z≤24/x \).

De ahí que cuando \( x\rightarrow{+\infty} \), \( \displaystyle\frac{864}{x}\rightarrow{0} \), lo que implica que \( f(x,y,z)\rightarrow{0} \), por lo tanto el punto crítico \( (2,6,4) \) no puede ser un mínimo, pues \( f(x,y,z) \) se puede hacer arbitrariamente pequeño conforme \( x \) se hace arbitrariamente grande. Por tanto se trata de un máximo absoluto. El caso \( y \) y \( z \) es análogo pero creo que no es necesario analizarlo pues con \( x \) ya se ha visto que el producto se puede hacer arbitrariamente pequeño, y por tanto encontrar valores de \( f\leq{48} \).


Gracias, Saludos.

[Luis Fuentes]

Hola

Quisiera saber si entendí:

Tengo un punto crítico \( (x,y,z)=(2,6,4) \), pero no sé si se trata, de un máximo o mínimo absoluto.

En realidad el problemas sobre todo es determinar si es absoluto. Si es máximo o mínimo local puede estudiarse con el Hessiano (o con su versión adaptada a los multiplicadores de Lagrange).

Pero el problema está en decidir si es o no absoluto.

Y además \( f(x,y,z)=xyz\leq{\displaystyle\frac{864}{x}} \), según:

Ahora de la igualdad \( 2xy+3xz+yz=72 \) es fácil ver que \( 72≥2xy \) y  \( 72≥3xz \) . Por tanto \( y≤36/x \) y \( z≤24/x \).

De ahí que cuando \( x\rightarrow{+\infty} \), \( \displaystyle\frac{864}{x}\rightarrow{0} \), lo que implica que \( f(x,y,z)\rightarrow{0} \), por lo tanto el punto crítico \( (2,6,4) \) no puede ser un mínimo, pues \( f(x,y,z) \) se puede hacer arbitrariamente pequeño conforme \( x \) se hace arbitrariamente grande. Por tanto se trata de un máximo absoluto. El caso \( y \) y \( z \) es análogo pero creo que no es necesario analizarlo pues con \( x \) ya se ha visto que el producto se puede hacer arbitrariamente pequeño, y por tanto encontrar valores de \( f\leq{48} \).

Si necesitas analizarlo, porque como te dije el problema no es si es máximo o mínimo, sino si es absoluto. A priori podría ocurrir que \( \displaystyle\lim_{y \to{+}\infty}{}f(x,y,z)=\infty \) o que el límite fuese un valor mayor al de nuestro punto crítico, al cuál se acerca asintóticamente.

Pero con mi argumento probamos que si \( x,y,z\geq M \) entonces los valores de \( f(x,y,z) \) tienden a cero y en particulares son menores que \( f(2,6,4) \).

Eso quiere decir que el máximo absoluto de nuestra función está en la región donde optimizamos intersecada con la bola cerrada \( B((0,0,0),M) \). Y ahora si: en un compacto siempre existe máximo y este, o bien está en los bordes del recinto o bien está en los puntos críticos que nos da Lagrage. El único punto crítico es el \( (2,4,6) \) y la frontera de nuestro recinto se da cuando:

\( x=0 \) ó \( y=0 \) ó \( z=0 \), pero ahí es claro que la función vale cero y es el mínimo valor posible.
Los \( (x,y,z) \) tales que \( \|x,y,z\|=M \) pero ahí ya razonamos que para \( M \) suficientemente grande \( f(x,y,z) \) es menor que  \( f(2,6,4) \).

Por tanto la única posibilidad es que el máximo sea \( f(2,6,4) \).

Saludos.

[Albersan]

Hola, muchas gracias:

Quisiera ver la posibilidad de ver una respuesta alternativa, pues la verdad he estado analizando y no logro entender. La respuesta siguiente la elaboré basándome en otro ejercicio y quisiera ver si es correcta.


Teníamos \( f(x,y,z)=xyz \), con \( 2xy+3xz+yz=72 \), despejando para \( z \), tenemos \( z=\displaystyle\frac{72-2xy}{3x+y} \), y entonces \( f=xy\displaystyle\frac{72-2xy}{3x+y} \). 

Por tanto si \( x\geq{\displaystyle\frac{\sqrt[ ]{36}}{10}} \) y \( y\geq{10\sqrt[ ]{36}} \) entonces \( f\leq{0} \).      Si \( x\geq{10\sqrt[ ]{36}} \) y \( y\geq{\displaystyle\frac{\sqrt[ ]{36}}{10}} \), entonces \( f\leq{0} \).

Si \( x\leq{\displaystyle\frac{\sqrt[ ]{36}}{10}} \),     \( f\leq{\displaystyle\frac{\sqrt[ ]{36}}{10}}y*\displaystyle\frac{72-0}{3*0+y}=0.6*72=43.2 \).     Si \( y\leq{\displaystyle\frac{\sqrt[ ]{36}}{10}} \),     \( f\leq{x*\displaystyle\frac{\sqrt[ ]{36}}{10}}*\displaystyle\frac{72-0}{3x+0}=0.6\displaystyle\frac{72}{3}=14.4 \).


Por lo tanto, considerando la región cerrada y acotada \( \displaystyle\frac{\sqrt[ ]{36}}{10}\leq{x\leq{10\sqrt[ ]{36}}} \)       \( \displaystyle\frac{\sqrt[ ]{36}}{10}\leq{y\leq{10\sqrt[ ]{36}}} \)  y la continuidad de \( f \) existe un máximo absoluto que se alcanza en la frontera o en un punto crítico en el interior. El punto crítico \( (x,y)=(2,4) \) encontrado anteriormente está dentro de la región y es tal que \( f(2,4)=48 \), por tanto es un máximo absoluto tanto en la región como en el dominio de \( f \). (El único punto que hay problema es \( (0,0) \), pero no satisface la restricción \( 2xy+3xz+yz=72 \))



Muchas Gracias

[Luis Fuentes]

Hola

Quisiera ver la posibilidad de ver una respuesta alternativa, pues la verdad he estado analizando y no logro entender.

¿Exactamente qué es lo que no entiendes?.

La respuesta siguiente la elaboré basándome en otro ejercicio y quisiera ver si es correcta.

Teníamos \( f(x,y,z)=xyz \), con \( 2xy+3xz+yz=72 \), despejando para \( z \), tenemos \( z=\displaystyle\frac{72-2xy}{3x+y} \), y entonces \( f=xy\displaystyle\frac{72-2xy}{3x+y} \). 

Por tanto si \( x\geq{\displaystyle\frac{\sqrt[ ]{36}}{10}} \) y \( y\geq{10\sqrt[ ]{36}} \) entonces \( f\leq{0} \).      Si \( x\geq{10\sqrt[ ]{36}} \) y \( y\geq{\displaystyle\frac{\sqrt[ ]{36}}{10}} \), entonces \( f\leq{0} \).

Si \( x\leq{\displaystyle\frac{\sqrt[ ]{36}}{10}} \),     \( f\leq{\displaystyle\frac{\sqrt[ ]{36}}{10}}y*\displaystyle\frac{72-0}{3*0+y}=0.6*72=43.2 \).     Si \( y\leq{\displaystyle\frac{\sqrt[ ]{36}}{10}} \),     \( f\leq{x*\displaystyle\frac{\sqrt[ ]{36}}{10}}*\displaystyle\frac{72-0}{3x+0}=0.6\displaystyle\frac{72}{3}=14.4 \).

Por lo tanto, considerando la región cerrada y acotada \( \displaystyle\frac{\sqrt[ ]{36}}{10}\leq{x\leq{10\sqrt[ ]{36}}} \)       \( \displaystyle\frac{\sqrt[ ]{36}}{10}\leq{y\leq{10\sqrt[ ]{36}}} \)  y la continuidad de \( f \) existe un máximo absoluto que se alcanza en la frontera o en un punto crítico en el interior. El punto crítico \( (x,y)=(2,4) \) encontrado anteriormente está dentro de la región y es tal que \( f(2,4)=48 \), por tanto es un máximo absoluto tanto en la región como en el dominio de \( f \). (El único punto que hay problema es \( (0,0) \), pero no satisface la restricción \( 2xy+3xz+yz=72 \))

Está bien.

Saludos.

[Albersan]

Hola,

Gracias por revisar mi mensaje anterior

¿Exactamente qué es lo que no entiendes?.

La verdad estoy complicado con el comienzo de la demostración.

No entiendo cómo probar que si \( x,y,z\geq{M} \) ( ¿ es lo mismo que afirmar que \( \left\|{(x,y,z)}\right\|\geq{M} \) ? ), entonces los valores de \( f(x,y,z) \) tienden a cero y en particular son menores que \( f(2,6,4) \).

En  \( x,y,z\geq{M} \), ¿tanto \( x \) como  \( y \), como  \( z \) deben ser mayores que \( M \)?


Muchas Gracias

[Luis Fuentes]

Hola

No entiendo cómo probar que si \( x,y,z\geq{M} \) ( ¿ es lo mismo que afirmar que \( \left\|{(x,y,z)}\right\|\geq{M} \) ? ), entonces los valores de \( f(x,y,z) \) tienden a cero y en particular son menores que \( f(2,6,4) \).

En  \( x,y,z\geq{M} \), ¿tanto \( x \) como  \( y \), como  \( z \) deben ser mayores que \( M \)?

Viene de aquí:

Ahora de la igualdad \( 2xy+3xz+yz=72 \) es fácil ver que \( 72\geq 2xy \) y  \( 72\geq 3xz \) . Por tanto \( y\leq 36/x \) y \( z\leq 24/x \). Y entonces \( f(x,y,z)\leq \dfrac{36\dot 24}{x} \). Por tanto cuando \( x\to \infty \) el producto tiende a cero y no pude superar el máximo que da Lagrange.

Por ejemplo en concreto de esa desigualdad si \( x>36\cdot 24 \) entonces \( f(x,y,z)\leq \dfrac{36\cdot 24}{36\cdot 24}=1 \).

Análogamente puedes conseguir que si \( x>M \) ó \( y>M \) ó \( z>M \) entonces \( f(x,y,z)<1 \). Y entonces eso permite hacer el mismo razonamiento que haces tu. Centrarnos en el rango:

\( 0\leq x,y,z\leq M \)

que ya es cerrado y acotado y ahí el máximo está en la frontera o en el punto crítico.

Saludos.

[Albersan]

Hola.

Muy agradecido

Ahora lo veo más claro y es que debido a la explicación en el último mensaje se ve que es más sencillo de lo que pensaba.

Muchas Gracias