[Eparoh]

Hola a todos.

Revisando unos apuntes me he encontrado con el siguiente resultado:

Sea \( S \) una superficie regular en \( \Bbb R^3 \) y supongamos que existe una función \( X: U \subset \Bbb R^2 \to S \), \( U \) abierto, la cual es diferenciable, inyectiva y tal que su diferencial es inyectivo para cada punto de \( U \). Entonces, se tiene que \( X^{-1} \) es continua y, por tanto, \( X \) es un homeomorfismo y, finalmente, una parametrización de \( S \).

La demostración que se da en varios libros que he consultado sería, más o menos, como sigue:

Denotemos por \( V=X(U) \) y tomemos \( p \in V \).

Si es entonces \( q \in U \) tal que \( X(q)=p \), como sabemos que la diferencial \( dX_q \) es inyectiva, podemos suponer sin pérdida de generalidad que

\( \begin{vmatrix}{\dfrac{\partial X_1}{\partial u}(q)}&{\dfrac{\partial X_2}{\partial v}(q)}\\{\dfrac{\partial X_1}{\partial u}(q)}&{\dfrac{\partial X_2}{\partial v}(q)}\end{vmatrix} \not = 0 \)

Definiendo entonces la proyección \( \pi: \Bbb R^3 \to \Bbb R^2 \) dada por \( \pi(x,y,z)=(x,y) \) y \( F:U \to \Bbb R^2 \) dada por \( F=\pi \circ X \), se tiene que \( F \) es diferenciable en \( U \) y que el determinante de la matriz jacobiana de \( F \) en el punto \( q \) es precisamente el mostrado anteriormente, luego es no nulo. Aplicando entonces el teorema de la función inversa existen \( U' \subset U \) un entorno abierto de \( q \) y \( U'' \) entorno abierto de \( F(q) \) tal que \( F|_{U'}: U' \to U'' \) es un difeomorfismo.

Ahora, si definimos \( V'=X(U') \subset V \), tenemos que \( p \in V' \) (pues \( q \in U' \) y \( p=X(q) \)) y que \( X^{-1}|_{V'}: V' \to U' \) se puede expresar como

\( X^{-1}|_{V'} = \left( F|_{U'} \right)^{-1} \circ \pi|_{V'} \)

y, por tanto, es continua al ser composición de funciones continuas.

En particular, \( X^{-1} \) es entonces continua en \( p \), y como era un punto arbitrario de \( V \), concluimios que \( X^{-1} \) es continua. \( \blacksquare \)

Ahora bien, a no ser que me esté perdiendo algo, creo que esta demostración tal y como está hecha no es del todo correcta por varios motivos:

• Que sepamos que la restricción de una función a cierto subconjunto de su dominio es continua, no quiere decir que la función (vista con su dominio original) sea continua en cada punto de dicho subconjunto pues únicamente podemos asegurarlo para los puntos interiores.
• No se utiliza en ningún momento que \( S \) sea una superficie regular, con lo que de ser correcta la demostración entonces el resultado sería igualmente cierto prescindiendo de este dato y básicamente tendríamos que si una aplicación \( f: U \subset \Bbb R^2 \to \Bbb R^3 \) es diferenciable, inyectiva y tal que su diferencial es inyectiva en cada punto, entonces es un homeomorfismo en su imagen. Esto último no creo que sea cierto, pero tampoco consigo encontrar un contraejemplo, por lo que si alguien conoce alguno le agradecería que lo comentara.
• En el enunciado se afirma que, como \( X \) es un homeomorfismo, entonces será una parametrización de la superficie, con lo cual parece querer decir que \( X(U) \) será abierto en \( S \), pero esto no creo que sea algo inmediato y mucho menos cierto si \( S \) no es una superficie regular.

Creo que la forma de arreglar este teorema pasa por demostrar previamente el siguiente resultado (para el cual si se utiliza fuertemente que \( S \) es una superficie regular):

Sea \( S \) una superficie regular, \( U \) un abierto de \( \Bbb R^2 \) y \( f:U \to \Bbb R^3 \) una aplicación continua, inyectiva y tal que \( f(U) \subset S \). Entonces, \( f(U) \) es un abierto de \( S \).

Efectivamente, utilizando este resultado el conjunto \( V'=X(U') \) definido en la demostración anterior es un abierto de \( S \), luego en particular es un abierto de \( V \) y si está justificado lo que marqué en color rojo al final de la demostración.

En resumen, mis preguntas son:

• ¿Es todo lo que he dicho correcto o me estoy perdiendo alguna cosa?
• ¿Alguien conoce un contraejemplo al enunciado que propuse en el punto 2. anterior?
• En caso de que todo lo que haya dicho sea cierto y la demostración esté realmente incompleta, ¿alguien conoce una forma más sencilla de completarla? Cuando digo más sencilla, me refiero a que en la demostración del último resultado que propuse (al menos en la que conozco) se utiliza el teorema de la invarianza de los dominios, el cual (ni siquiera para el caso de \( \Bbb R^2 \) que es el que se necesita) no es para nada tan elemental como el resto de resultados de los libros donde aparece el resultado original.

Un saludo y muchas gracias por las respuestas.

EDITO: Por aportar algo más, la demostración del segundo resultado es esencialmente esta que ya me dio Luis hace unos años, la cual puede aplicarse siempre que \( f \) sea continua e inyectiva, sin ser necesario que sea un homeomorfismo.

[Luis Fuentes]

Hola

¿Es todo lo que he dicho correcto o me estoy perdiendo alguna cosa?

No he mirado la demostración en detalle; pero es cierto que no pone de manifiesto que \( S \) es una superficie regular; y es fundamental usarlo.

¿Alguien conoce un contraejemplo al enunciado que propuse en el punto 2. anterior?

Piénsalo primero para una curva. El intervalo \( (0,1) \) metido en el plano mediante una aplicación inyectiva, diferenciable, continua, con diferencial inyectiva de manera que se retuerza un poco sobre si mismo hasta ser un \( 6 \). El \( 6 \) (con la topología restringida del plano) no es homeomorfo al intervalo.



Ahora el mismo ejemplos se traslada a superficies si tomas el cilindro sobre esas curvas.

En caso de que todo lo que haya dicho sea cierto y la demostración esté realmente incompleta, ¿alguien conoce una forma más sencilla de completarla? Cuando digo más sencilla, me refiero a que en la demostración del último resultado que propuse (al menos en la que conozco) se utiliza el teorema de la invarianza de los dominios, el cual (ni siquiera para el caso de \( \Bbb R^2 \) que es el que se necesita) no es para nada tan elemental como el resto de resultados de los libros donde aparece el resultado original.

Para mi la forma natural de probarlo es usar que la superficie regular \( S \) es localmente difeomorfa a un abierto del plano; entonces localmente el problema se puede pensar simplemente como una aplicación de \( \Bbb R^2 \) a \( \Bbb R^2 \) y ahí es directamente el Teorema de la función inversa.

Saludos.

[Eparoh]

Hola Luis, gracias por las respuestas.

Piénsalo primero para una curva. El intervalo \( (0,1) \) metido en el plano mediante una aplicación inyectiva, diferenciable, continua, con diferencial inyectiva de manera que se retuerza un poco sobre si mismo hasta ser un \( 6 \). El \( 6 \) (con la topología restringida del plano) no es homeomorfo al intervalo.



Ahora el mismo ejemplos se traslada a superficies si tomas el cilindro sobre esas curvas.

El \( 6 \) no es homeomorfo al intervalo porque al quitarle cualquier punto continua siendo conexo, mientras que el intervalo no, ¿verdad? (porque entiendo que el \( 6 \) es tal que al enroscarse el invertalo nunca llega a tocarse a sí mismo, pero tampoco deja ningún "hueco").

Para mi la forma natural de probarlo es usar que la superficie regular \( S \) es localmente difeomorfa a un abierto del plano; entonces localmente el problema se puede pensar simplemente como una aplicación de \( \Bbb R^2 \) a \( \Bbb R^2 \) y ahí es directamente el Teorema de la función inversa.

Esto no lo veo del todo claro ya que la inversa de una parametrización no tiene porque ser diferenciable y al componer la aplicación \( X \) con la inversa de alguna parametrización no obtenemos necesariamente una aplicación diferenciable y no es posible aplicar el teorema de la función inversa, ¿no?

Un saludo.

[geómetracat]

El \( 6 \) no es homeomorfo al intervalo porque al quitarle cualquier punto continua siendo conexo, mientras que el intervalo no, ¿verdad? (porque entiendo que el \( 6 \) es tal que al enroscarse el invertalo nunca llega a tocarse a sí mismo, pero tampoco deja ningún "hueco").

Más bien porque hay puntos tales que si los quitas sigue siendo conexo (los hay que si los quitas el 6 deja de ser conexo), mientras que si a un intervalo abierto le quitas cualquier punto deja de ser conexo.

Esto no lo veo del todo claro ya que la inversa de una parametrización no tiene porque ser diferenciable y al componer la aplicación \( X \) con la inversa de alguna parametrización no obtenemos necesariamente una aplicación diferenciable y no es posible aplicar el teorema de la función inversa, ¿no?

No me puedo explayar mucho ahora, pero la idea es que si la superfície es regular entonces es localmente como un plano dentro de \( \Bbb R^3 \), en el sentido de que dado \( p \in S \) hay un difeomorfismo de un entorno de \( p \) en \( \Bbb R^3 \) a un cubo abierto \( C_\epsilon := (-\epsilon, \epsilon)^3 \) de manera que la imagen de \( S \) por este difeomorfismo es \( \{(x,y,z)\in C_\epsilon \mid z=0\} \). Este es un teorema bastante básico de topología diferencial, y no es muy difícil de demostrar usando el teorema de la función implícita.

Ahora si te reduces a este caso (en que \( S \) es el plano \( z=0 \)) tienes que la inclusión \( i:\Bbb R^2 \to \Bbb R^3 \) dada por \( i(x,y)=(x,y,0) \) es una parametrización de \( S \), y la proyección \( \pi:\Bbb R^3 \to \Bbb R^2 \) dada por \( \pi(x,y,z)=(x,y) \) es una aplicación diferenciable que restringe a una inversa de \( i \) en \( S \). Entonces puedes aplicar el teorema de la función inversa a \( \pi \circ f \) para obtener que hay dos entornos abiertos \( U, V \) en \( \Bbb R^2 \) tales que \( \pi \circ f \) es un difeomorfismo de \( U \) a \( V \) y de aquí concluir que \( f(U)=i(V) \) es abierto.

A ver si esto te sirve, si no pregunta por más detalles y cuando pueda contesto.

[Eparoh]

Hola.

El \( 6 \) no es homeomorfo al intervalo porque al quitarle cualquier punto continua siendo conexo, mientras que el intervalo no, ¿verdad? (porque entiendo que el \( 6 \) es tal que al enroscarse el invertalo nunca llega a tocarse a sí mismo, pero tampoco deja ningún "hueco").

Más bien porque hay puntos tales que si los quitas sigue siendo conexo (los hay que si los quitas el 6 deja de ser conexo), mientras que si a un intervalo abierto le quitas cualquier punto deja de ser conexo.

Sí, eso quería decir, pero se me coló un "cualquier" 

No me puedo explayar mucho ahora, pero la idea es que si la superfície es regular entonces es localmente como un plano dentro de \( \Bbb R^3 \), en el sentido de que dado \( p \in S \) hay un difeomorfismo de un entorno de \( p \) en \( \Bbb R^3 \) a un cubo abierto \( C_\epsilon := (-\epsilon, \epsilon)^3 \) de manera que la imagen de \( S \) por este difeomorfismo es \( \{(x,y,z)\in C_\epsilon \mid z=0\} \). Este es un teorema bastante básico de topología diferencial, y no es muy difícil de demostrar usando el teorema de la función implícita.

Pues no había leído bien lo que había dicho Luis y en mi cabeza estaba entendiendo simplemente la definición de superficie como localmente euclídea con cartas diferenciables, pero ahora veo a que se refería. No conocía este resultado y he estado intentando probarlo, pero sin demasiados resultados. Sí cuando tengas tiempo puedes mostrarme la demostración te lo agradecería mucho.

Ahora si te reduces a este caso (en que \( S \) es el plano \( z=0 \)) tienes que la inclusión \( i:\Bbb R^2 \to \Bbb R^3 \) dada por \( i(x,y)=(x,y,0) \) es una parametrización de \( S \), y la proyección \( \pi:\Bbb R^3 \to \Bbb R^2 \) dada por \( \pi(x,y,z)=(x,y) \) es una aplicación diferenciable que restringe a una inversa de \( i \) en \( S \). Entonces puedes aplicar el teorema de la función inversa a \( \pi \circ f \) para obtener que hay dos entornos abiertos \( U, V \) en \( \Bbb R^2 \) tales que \( \pi \circ f \) es un difeomorfismo de \( U \) a \( V \) y de aquí concluir que \( f(U)=i(V) \) es abierto.

Claro, osea por el resultado anterior te reduces al plano \( z=0 \) (con lo que si pruebas este caso, pruebas el caso general) y ahora la demostración que das es prácticamente la misma que yo dí al comienzo del primer mensaje, pero con la ventaja de que ahora si puedes concluir que lo que yo llamé \( V' \) es abierto en \( S \).

Por completitud y para asegurarme de que todo está bien escribo los (tediosos) detalles a continuación, y de nuevo agradecería si pudierais echarles un ojo.

Teorema 1: Sea \( S \) una superficie regular y \( p \in S \). Entonces existe un entorno abierto \( O \) de \( p \) en \( \Bbb R^3 \), \( \varepsilon>0 \) y un difeomorfismo \( F: O \longrightarrow C_\varepsilon \) (donde \( C_\varepsilon=(-\varepsilon, \varepsilon)^3 \)) tal que \( F(O \cap S)=\{(x,y,z) \in C_\varepsilon: z=0\} \).

Demostración:

Spoiler

Tomemos \( X: U \subset \Bbb R^2 \to S \) una parametrización que cubra el punto \( p \), para la cual podemos suponer, sin pérdida de generalidad, que \( q=(0,0) \in U \) y \( X(q)=p \). Como \( dX_q \) es inyectiva podemos suponer que

\( \begin{vmatrix}{\dfrac{\partial X_1}{\partial u}(q)}&{\dfrac{\partial X_2}{\partial v}(q)}\\{\dfrac{\partial X_1}{\partial u}(q)}&{\dfrac{\partial X_2}{\partial v}(q)}\end{vmatrix} \not = 0 \)

y, por el teorema de la función inversa, que existe un entorno \( U' \subset U \) de \( q=(0,0) \) donde la aplicación \( \tilde{X} =(X_1,X_2) \) es inyectiva.

En caso de que fuera no nulo alguno de los otros dos menores obtendríamos el mismo resultado aunque sobre alguno de los otros dos planos y bastaría con componer el difeomorfismo obtenido con alguna rotación para obtener el difeomorfismo buscado.

Definamos ahora \( G: A \longrightarrow \Bbb R^3 \) donde \( A \) es el abierto dado por \( A=\{(x,y,z) \in \Bbb R^3: (x,y) \in U'\} \) y

\( G(x,y,z)=(X_1(x,y), X_2(x,y), X_3(x,y)+z) \)

Es inmediato que \( G \) es diferenciable y como

\( det(JG(0,0,0)) = \begin{vmatrix}{\dfrac{\partial X_1}{\partial u}(q)}&{\dfrac{\partial X_2}{\partial v}(q)}&{\dfrac{\partial X_3}{\partial v}(q)}\\{\dfrac{\partial X_1}{\partial u}(q)}&{\dfrac{\partial X_2}{\partial v}(q)}&{\dfrac{\partial X_3}{\partial v}(q)}\\0 & 0 & 1\end{vmatrix} = \begin{vmatrix}{\dfrac{\partial X_1}{\partial u}(q)}&{\dfrac{\partial X_2}{\partial v}(q)}\\{\dfrac{\partial X_1}{\partial u}(q)}&{\dfrac{\partial X_2}{\partial v}(q)}\end{vmatrix} \not = 0 \)

por el teorema de la función inversa existen \( V, W \subset \Bbb R^3 \) entornos abiertos de \( (0,0,0) \) y \( p \) respectivamente tales que \( G \) es un difeomorfismo entre \( V \) y \( W \).

Ahora, como \( X \) es un homeomorfismo en su imagen, en particular es abierta y tenemos que \( X(U') \) es un entorno abierto de \( p \) en \( S \), con lo que existe cierto abierto \( B \) de \( \Bbb R^3 \) tal que \( X(U')=B \cap S \) siendo \( p \in B \). Definamos pues los abiertos \( W'=W \cap B \) y \( V'=G^{-1}(W') \), y consideremos el difeomorfismo \( H: W' \to V' \) dado por \( H=G^{-1}|_{W'} \). Como \( V' \) es abierto y \( (0,0,0) \in V' \) (pues \( p \in W' \) y \( H(p)=G^{-1}(p)=(0,0,0) \)), tenemos que existe cierto \( \varepsilon >0 \) tal que el cubo \( C_\varepsilon=(-\varepsilon, \varepsilon)^3 \) está contenido en \( V' \). Finalmente, definamos el abierto \( O=H^{-1}(C_\varepsilon) \) (para el cual se cumple que \( p \in O) \) y \( F:O \longrightarrow C_\varepsilon \) como el difeomorfismo \( F=H|_O \).

Concluyamos viendo que este es el difeomorfismo buscado, para lo cual observemos primero que \( O \cap S \subset W' \cap S =W \cap B \cap S = W \cap X(U') \subset X(U') \).
Ahora

\( F(O \cap S)=H(O \cap S) = G^{-1}(O \cap S) \cap C_\varepsilon \)

con lo que resta ver que \( G^{-1}(O \cap S) \cap C_\varepsilon = \{z=0\} \cap C_\varepsilon \).

Sin más, si es \( (x,y,z) \in G^{-1}(O \cap S) \cap C_\varepsilon \), entonces es claro que \( (x,y,z) \in C_\varepsilon \) y además tenemos que \( G(x,y,z) \in O \cap S \subset X(U') \). Por tanto, existe cierto \( q' \in U' \) tal que \( G(x,y,z)=X(q') \) y así obtenemos que

\( (X_1(x,y), X_2(x,y), X_3(x,y)+z)=(X_1(q'), X_2(q'),X_3(q')) \)

y, por la inyectividad de \( \tilde{X} \) en \( U' \), se obtiene que \( (x,y)=q' \) y finalmente que \( z=0 \) como buscábamos.

Recíprocamente, si es \( (x,y,z) \in \{z=0\} \cap C_\varepsilon \), entonces \( (x,y,z) \in C_\varepsilon \subset V' \subset V \subset A \) y \( z=0 \). Así \( G(x,y,z) = G(x,y,0)=X(x,y) \in S \) y \( G(x,y,z) \in O \) pues \( H(G(x,y,z))=(x,y,z) \in C_\varepsilon \). Por tanto, \( G(x,y,z) \in O \cap S \) y concluimos la demostración. \( \blacksquare \)

[cerrar]

Teorema 2: Sea \( S \) un abierto del plano \( z=0 \) y supongamos que existe una función \( X: U \subset \Bbb R^2 \to S \), \( U \) abierto, la cual es diferenciable, inyectiva y tal que su diferencial es inyectiva para cada punto de \( U \). Entonces, se tiene que \( X^{-1} \) es continua y \( X(U) \) es un abierto en \( S \), con lo que \( X \) una parametrización de \( S \).

Demostración:

Spoiler

Denotemos por \( V=X(U) \) y tomemos \( p \in V \).

Si es entonces \( q \in U \) tal que \( X(q)=p \), como sabemos que la diferencial \( dX_q \) es inyectiva y \( X_3(u,v)=0, \forall (u,v) \in U \), tenemos que

\( \begin{vmatrix}{\dfrac{\partial X_1}{\partial u}(q)}&{\dfrac{\partial X_2}{\partial v}(q)}\\{\dfrac{\partial X_1}{\partial u}(q)}&{\dfrac{\partial X_2}{\partial v}(q)}\end{vmatrix} \not = 0 \)

Ahora, como \( i:\Bbb R^2 \to \{z=0\} \) dada por \( i(x,y)=(x,y,0) \) es una parametrización del plano \( z=0 \) y \( S \) es abierto en este, tenemos que \( W=i^{-1}(S) \) es abierto en \( \Bbb R^2 \) y \( j: W \to S \) definida como \( j=i|_W \) es una parametrización de \( S \). Además, la inversa de \( j \) es precisamente \( \pi|_S \) siendo \( \pi: \Bbb R^3 \to \Bbb R^2 \) dada por \( \pi(x,y,z)=(x,y) \).

Definiendo entonces \( F:U \to \Bbb R^2 \) como \( F=\pi|_S \circ X \), se tiene que \( F \) es diferenciable en \( U \) y que el determinante de la matriz jacobiana de \( F \) en el punto \( q \) es precisamente el mostrado anteriormente, luego es no nulo. Aplicando entonces el teorema de la función inversa existen \( U' \subset U \) un entorno abierto de \( q \) y \( U'' \) entorno abierto de \( F(q) \) (que estará contenido en \( W \) pues \( F(U) \subset W \)) tal que \( F|_{U'}: U' \to U'' \) es un difeomorfismo.

Ahora, si definimos \( V'=X(U') \subset V \), tenemos que:

• \( p \in V' \), pues \( q \in U' \) y \( p=X(q) \).
• \( V' \) es abierto en \( S \), luego en \( V \).
  Por ser \( \left(\pi|_V\right)^{-1}=j \) se tiene que \( X=j \circ F \) y así \( V'=X(U')=j(F(U'))=j(U'') \) y, como \( j \) es abierta (por ser un homeomorfismo) y \( U'' \) abierto en \( W \), obtenemos que efectivamente \( V' \) es abierto en \( S \).
  

Como además es

\( X^{-1}|_{V'} = F|_{U'}^{-1} \circ j|_{V'}^{-1} \)

se tiene que \( X^{-1}|_{V'} \) es continua en \( V' \) (al ser composición de funciones continuas) y, por ser \( V' \) abierto en \( V \), que \( X^{-1} \) es continua en \( V' \) y en particular en \( p \).

Además, también tenemos que \( p \in V' \subset V \) siendo \( V' \) abierto en \( S \), con lo que \( p \) es un punto interior de \( V \).

Como \( p \) era un punto arbitrario de \( V \), concluimos que efectivamente \( X^{-1} \) es continua en \( V \) y que este es abierto en \( S \). \( \blacksquare \)

[cerrar]

Corolario: Sea \( S \) una superficie regular y supongamos que existe una función \( X: U \subset \Bbb R^2 \to S \), \( U \) abierto, la cual es diferenciable, inyectiva y tal que su diferencial es inyectiva para cada punto de \( U \). Entonces, se tiene que \( X^{-1} \) es continua y \( X(U) \) es un abierto en \( S \), con lo que \( X \) una parametrización de \( S \).

Demostración:

Spoiler

Denotemos por \( V=X(U) \) y tomemos \( p \in V \).

Sea ahora \( F: O \longrightarrow C_\varepsilon \) el difeomorfismo dado por el Teorema 1 y definamos \( S'=F(O \cap S) = C_\varepsilon \cap \{z=0\} \), que será un abierto del plano \( z=0 \).

Por último, definamos también \( U'=X^{-1}(O \cap S) \) (que por la continuidad de \( X \) será abierto en \( U \), luego en \( \Bbb R^2 \)) y \( g:U' \to S' \) dada por \( g=F \circ X|_{U'} \).

Es inmediato entonces que \( g \) es diferenciable en \( U' \), inyectiva y con diferencial inyectiva en cada punto de \( U' \) (pues \( dg_{q'}=dF_{X(q')} \circ dX_{q'} \)), con lo que por el Teorema 2 se tiene que \( g^{-1} \) es continua en \( g(U') \) y que este último conjunto es abierto en \( S' \). Sea ahora \( W=F^{-1}(g(U')) \) y observemos que:

• Es abierto en \( S \) pues si es \( g(U')=S' \cap A \) con \( A \) abierto de \( \Bbb R^3 \), entonces
  
  \( W=F^{-1}(A \cap S') = F^{-1}(A) \cap F^{-1}(S') = F^{-1}(A) \cap O \cap S \)
  siendo \( F^{-1}(A) \cap O \) abierto en \( \Bbb R^3 \) por la continuidad de \( F \).
• \( p \in W \) pues \( q \in U' \) (al ser \( X(q)=p \in O \cap S) y  \)  \( F(p)=F(X(q))=g(q) \in g(U')) \).
• \( W \subset V \) pues si \( p' \in W \) entonces \( F(p') \in g(U') \), luego existe cierto \( q' \in U' \) tal que \( F(p')=g(q')=F(X(q')) \) y, como \( F \) es inyectiva, \( p'=X(q') \in X(U') \subset V \).

Ahora, como \( X|_{U'}= F^{-1} \circ g: U' \to W \), se tiene que \( X^{-1}|_W: W \to U' \) viene dada por \( X^{-1}|_W = g^{-1} \circ F|_W \) y es pues continua. Además, como \( W \) es abierto en \( V \) (por serlo en \( S \) y estar contenido en \( V \)), obtenemos que \( X^{-1} \) es continua en \( W \), y en particular en \( p \).

También, hemos obtenido que \( p \) es un punto interior de \( V \) pues \( p \in W \subset V \) siendo \( W \) un abierto de \( S \).

Como \( p \in V \) era arbitrario, obtenemos finalmente que \( X^{-1} \) es continua en \( V \) siendo este conjunto abierto en \( S \). \( \blacksquare \)

[cerrar]

Un saludo y muchas gracias, como siempre, por toda la ayuda.

EDITADO: Añadida la demostración del Teorema 1 en base al esquema dado por geómetracat en el mensaje posterior.

[geómetracat]

Yo la demostración que has hecho con todos los detalles la veo bien. 

Pues no había leído bien lo que había dicho Luis y en mi cabeza estaba entendiendo simplemente la definición de superficie como localmente euclídea con cartas diferenciables, pero ahora veo a que se refería. No conocía este resultado y he estado intentando probarlo, pero sin demasiados resultados. Sí cuando tengas tiempo puedes mostrarme la demostración te lo agradecería mucho.

Bueno, lo de teorema básico me refería a que se usa continuamente y está demostrado en cualquier libro que hable de variedades diferenciables, tampoco es que sea un resultado trivial si no has visto nunca la demostración. Por supuesto, el caso general (y el que encontrarás en los libros de variedades) es el de una subvariedad embebida en una variedad, de dimensiones arbitrarias tanto la subvariedad como la variedad.

De nuevo te explico la idea de la demostración y si quieres amplias tú los detalles que te parezcan. Sea \( S \subseteq \Bbb R^3 \) una superfície regular, y \( p\in S \). Toma una parametrización \( X=(X_1,X_2,X_3):U\subseteq \Bbb R^2 \to S \) tal que \( X(0,0)=p \) y asume sin pérdida de generalidad que la submatriz de \( dX_{(0,0)} \) formada por las dos primeras filas y columnas tiene determinante no nulo. Considera ahora \( F:U\times \Bbb R \to \Bbb R^3 \) dada por \( F(x,y,z)=(X_1(x,y),X_2(x,y),X_3(x,y)+z) \). Es fácil comprobar que \( dF_{(0,0,0)} \) es un isomorfismo, luego hay abiertos \( V,W \subseteq \Bbb R^3 \) tales que \( F \) es un difeomorfismo de \( V \) en \( W \). Como \( S \) es regular, restringiendo \( W \) a un conjunto más pequeño, que podemos tomar un cubo \( C_\epsilon \), podemos asegurar que \( S\cap C_\epsilon \subseteq X(U) \). Tomando ahora \( O = F^{-1}(C_\epsilon) \) tenemos los entornos y el difeomorfismo buscado, ya que \( F^{-1}(S\cap C_\epsilon) = \{(x,y,z)\in O \mid z=0\} \).
Como \( S \) es regular, restringiendo si es necesario \( W \) a un conjunto más pequeño, podemos asegurar que \( S\cap W \subseteq X(U) \). Tomando ahora un cubo abierto \( C_\epsilon \subseteq F^{-1}(W) \) y definiendo \( O:=F(C_\epsilon) \) tenemos los entornos y el difeomorfismo buscado, que sería \( F^{-1}|_O:O\to C_\epsilon \), ya que \( F^{-1}(S\cap O) = \{(x,y,z)\in C_\epsilon \mid z=0\} \).

Que por cierto dije en mi mensaje anterior que se demostraba usando el teorema de la función implícita porque lo recordaba así de algún libro, pero me ha salido con la función inversa.

Corregido: me hice un pequeño lío al final con los entornos y la dirección del difeomorfismos.

[Eparoh]

Hola.

Bueno, lo de teorema básico me refería a que se usa continuamente y está demostrado en cualquier libro que hable de variedades diferenciables, tampoco es que sea un resultado trivial si no has visto nunca la demostración. Por supuesto, el caso general (y el que encontrarás en los libros de variedades) es el de una subvariedad embebida en una variedad, de dimensiones arbitrarias tanto la subvariedad como la variedad.

Por desgracia durante el grado nunca vi nada sobre variedades diferenciables (y después me moví hacia otras ramas de las matemáticas y tampoco profundicé en ello) de forma abstracta pues en la universidad donde lo cursé la geometría, en cualquiera de sus ramas, brilla por su ausencia (de hecho, aunque yo si las estudiaba de la bibliografía, las demostraciones "difíciles", es decir, las que utilizaban el teorema de la función implicita o inversa, ni se veían en clase). Por tanto tengo ahí una laguna bastante importante que a ver si algún día consigo llenar

Respecto a la demostración, todo claro salvo un detallito. La he añadido al mensaje anterior, y el detalle donde tengo dudas es si hace realmente falta hacer lo que yo hice de restringir el dominio de la parametrización a uno más pequeño donde las dos primeras coordenadas de la misma conformen una aplicación inyectiva o he entendido algo mal.

Un saludo y, una vez más, mucha gracias por toda la ayuda.

[geómetracat]

Por desgracia durante el grado nunca vi nada sobre variedades diferenciables (y después me moví hacia otras ramas de las matemáticas y tampoco profundicé en ello) de forma abstracta pues en la universidad donde lo cursé la geometría, en cualquiera de sus ramas, brilla por su ausencia (de hecho, aunque yo si las estudiaba de la bibliografía, las demostraciones "difíciles", es decir, las que utilizaban el teorema de la función implicita o inversa, ni se veían en clase). Por tanto tengo ahí una laguna bastante importante que a ver si algún día consigo llenar

Esto pasa siempre, y por desgracia con los nuevos planes de estudio (desde que se implantó lo de los grados) cada vez se recorta más el material. Y también es cierto que hay que escoger en qué profundizar, porque la matemática es enorme y no puedes dedicarte a saber de todo, así que al final todos tenemos lagunas grandes en algunos campos.

Dicho esto, conocer los rudimentos de variedades diferenciables puede ser bastante útil en muchas situaciones, por ejemplo si te interesa el análisis, ya que las variedades diferenciables son (entre otras muchas cosas) espacios donde hacer análisis "global".

Respecto a la demostración, todo claro salvo un detallito. La he añadido al mensaje anterior, y el detalle donde tengo dudas es si hace realmente falta hacer lo que yo hice de restringir el dominio de la parametrización a uno más pequeño donde las dos primeras coordenadas de la misma conformen una aplicación inyectiva o he entendido algo mal.

He echado un vistazo rápido a tu demostración y yo lo veo todo bien. En efecto, tienes razón y para que todo funcione bien hay que restringir la parametrización para que \( \tilde{X} \) sea inyectiva.

No parece que tenga que ser muy difícil construir contraejemplos en caso contrario, del estilo que \( S\cap O \) sea la intersección de \( O \) con dos planos paralelos al eje \( z \) pero la imagen por \( G \) de los puntos de \( C_\epsilon\cap \{z=0\} \) sea únicamente uno de esos planos (porque el otro sea imagen por \( X \) de puntos de \( U \) cuyas coordenadas están fuera de \( C_\epsilon^2 \)).

[Eparoh]

Hola.

Esto pasa siempre, y por desgracia con los nuevos planes de estudio (desde que se implantó lo de los grados) cada vez se recorta más el material. Y también es cierto que hay que escoger en qué profundizar, porque la matemática es enorme y no puedes dedicarte a saber de todo, así que al final todos tenemos lagunas grandes en algunos campos.

Completamente de acuerdo, el elegir en que se profundiza más o menos es un debate complicadísimo, pero lo que si me da mucha pena es que parece que cada vez se tiende más hacia lo "aplicado" y "el trabajo empresarial", o esa impresión me da lo que veo en mi pequeño entorno.

Dicho esto, conocer los rudimentos de variedades diferenciables puede ser bastante útil en muchas situaciones, por ejemplo si te interesa el análisis, ya que las variedades diferenciables son (entre otras muchas cosas) espacios donde hacer análisis "global".

Lo tengo apuntado como tarea pendiente. Espero que no en mucho tiempo aparezcan por aquí preguntas mías con dudas sobre el tema (o no, pero porque entienda todo bien)

He echado un vistazo rápido a tu demostración y yo lo veo todo bien. En efecto, tienes razón y para que todo funcione bien hay que restringir la parametrización para que \( \tilde{X} \) sea inyectiva.

No parece que tenga que ser muy difícil construir contraejemplos en caso contrario, del estilo que \( S\cap O \) sea la intersección de \( O \) con dos planos paralelos al eje \( z \) pero la imagen por \( G \) de los puntos de \( C_\epsilon\cap \{z=0\} \) sea únicamente uno de esos planos (porque el otro sea imagen por \( X \) de puntos de \( U \) cuyas coordenadas están fuera de \( C_\epsilon^2 \)).

Perfecto. Pues como siempre, muchísimas gracias por revisarlo.

Un saludo.