[ancape]

Luis
Sigues sin convencerme y a medida que lo pienso estoy convencido que el ángulo AMN es función cuadrática de la distancia AM y podemos hacer la construcción geométrica.
Cómo puedes ver en la figura del centro, he pintado un segmento M’N’ de longitud L (fijo) y una circunferencia c que da el arco capaz de 135º para dicho segmento. Si en uno de los extremos M’ dibujamos una cuerda de forma que M’A’ se D (distancia de A a M) determinamos un ángulo A’M’N’ igual al AMN de la izquierda.
Tomemos unos ejes y dibujemos la curva cuyos puntos tienen a D como abcisa y el ángulo A’M’N’ como ordenada (figura a la derecha). Dicha curva se genera cuando A’ se mueve en la circunferencia c y tiene el mismo grado que la curva en que movemos A’ pues el ángulo A’M’N’ depende EXCLUSIVAMENTE de D, y la relación A’ D es biunívoca. La curva es una cónica, concretamente una hipérbola y ……
 

¡¡Hay que ver como han evolucionado las matemáticas ¡¡. Ahora son más democráticas. Se toma como demostración de un hecho el que cuatro personas lleguen a la misma conclusión. Deberíamos convocar un referéndum para resolver la Conjetura de Goldbach.

No. No tomo como demostración el número de personas que han llegado a la misma conclusión. Tomo como demostraciones las CUATRO demostraciones que cada una de esas personas ha expuesto, que es bien distinto.
Lo curiososo es que tu ni tan siquiera has dado una ecuación. De hecho no has dado la solución. Has dado un dibujo hecho en GeoGebra. En tu primer mensaje diste un valor: \( 0.2189779 \), que está mal. Pero ni siquiera has dicho claramente como has obtenido ese valor (y no me refiero a un dibujo en el GeoGebra). ¿Sale de que fórmula o de que ecuación?. Ya ni me meto (no viene a cuento) en que hagas una estimación del error, porque no considero que sea la cuestión.

Una vez más te invito a que des una ecuación (cuadrática según tu) concreta y justificada, que te permita resolver el problema.

Estudia el mensaje en el que introduzco el arco capaz del ángulo buscado y L. Ahí queda claro que el ángulo A'M'N' depende EXCLUSIVAMENTE de un punto que se mueve en una circunferencia (la del arco capaz).

Lo que he publicado es una construcción geométrica hecha con Geogebra pero suficientemente razonada para constituir una prueba de cómo hacer un problema. El que diese un resultado que tú tildas de erróneo es porque no te has parado a pensar lo que se parece bastante a los obtenidos numéricamente. El resultado lo tomé simplemente preguntando a Geogebra por la distancia entre A y el punto obtenido. Si no di más decimales es porque tengo configurado Geogebra para que exponga 2 decimales en pantalla. Reconfigurado Geogebra para exponer más decimales, se obtiene 0,219766777257 que puedes comprobar haciendo el problema al revés que separando cuadrado y círculo esa cantidad, el área común es exactamente 0.5.
Ahora que he probado la eficacia del método de interpolar una cónica, propongo una generalización del problema.
Se tiene un cuadrado ABCD de lado L y una recta r que pasa por A y forma un ángulo a con el lado AD. Dónde debe colocarse en r el centro de un círculo de radio L para que solape con ABCD la mitad del área.
 

Un ejemplo:
Con el método de interpolación cuadrática L=1 y a=35º he obtenido 0,53 (puedo dar más decimales)

Saludos

¡¡ Ah !!, no te preocupes, no seguiré insistiendo en este tema y seguiré utilizando mi método de interpolación pues parece que da muy buenos resultados y es cómodo de aplicar.

[vicenteab]

Hola ancape. Siento discrepar profundamente del principal argumento que expones, "el que la solución a este problema consiste en hallar el punto de intersección de una recta con una cónica". Esto es inadmisible ya que la curva o lugar geométrico en la que te basas para "afirmar" que es una cónica, no es correcto. Más bien lo que haces es ajustar e interpolar una cónica a dicho Lugar. Por tanto, no es lo mismo conceptualmente. He realizado tu misma construcción y, en efecto, la cónica que interpola al Lugar es una hipérbola distinta para cada 5 puntos distintos que consideres. Esto ya parece que visualmente ya debería bastar  para darte cuenta que estás equivocado. Además, una vez que construyes la cónica para "adivinar" la solución, te preguntaría:
¿Qué haces ahora para averiguar el ángulo que te daría el valor de la longitud OA deseada?
Mirar los valores de las áreas hasta que observes que coincide con 0.5. Para este viaje entonces no haría falta todo este montaje, si vas a dar la solución de esta manera. En fin, creo que debieras reconsiderar tu trabajo.

[Luis Fuentes]

Hola

Sigues sin convencerme y a medida que lo pienso estoy convencido que el ángulo AMN es función cuadrática de la distancia AM y podemos hacer la construcción geométrica.
Cómo puedes ver en la figura del centro, he pintado un segmento M’N’ de longitud L (fijo) y una circunferencia c que da el arco capaz de 135º para dicho segmento. Si en uno de los extremos M’ dibujamos una cuerda de forma que M’A’ se D (distancia de A a M) determinamos un ángulo A’M’N’ igual al AMN de la izquierda.
Tomemos unos ejes y dibujemos la curva cuyos puntos tienen a D como abcisa y el ángulo A’M’N’ como ordenada (figura a la derecha). Dicha curva se genera cuando A’ se mueve en la circunferencia c y tiene el mismo grado que la curva en que movemos A’ pues el ángulo A’M’N’ depende EXCLUSIVAMENTE de D, y la relación A’ D es biunívoca. La curva es una cónica, concretamente una hipérbola y ……

En lo que sigue repetiré algo que ya he comentado en es este hilo; pero por dejarlo claro. En el gráfico \( MN \) es constante y por comodidad supondré que \( MN=1 \).

1) ¿Estás afirmando que en el gráfico que pongo la relación entre \( x=\widehat{AMN} \) e \( y=AM \) es cuadrática? Es decir que están relacionadas por la ecuación de una cónica:

\( ax^2+by^2+2cxy+2dx+2ey+f=0 \)

2) Por el Teorema de los Senos en el triángulo \( AMN \)

\( \dfrac{y}{\widehat{ANM}}=\dfrac{MN}{sin(135^o)}\quad \Leftrightarrow{}\quad \dfrac{y}{sin(\pi/4-x)}=\sqrt{2} \)

de donde:

\( \boxed{y=\sqrt{2}sin(\pi/4-x)} \)  (*)

¿De acuerdo con este cálculo?.

3) Entonces según (1) y (2) estás afirmando que las variables \( x,y \) relacionadas por (*) también podrían relacionarse con una ecuación cuadrática.

4) Lo que estás diciendo, no sé si eres consciente, es que la función seno podría calcularse como una función cuadrática:

\( sin(x)=ax+b\pm \sqrt{cx^2+dx+e} \)

al menos en el intervalo \( x\in (0,\pi/4) \).

Si no estás de acuerdo con alguno de estos (4) puntos o piensas que hay algún error, dime exactamente en que no estás de acuerdo y cuál es el error.

En otro caso, casi me apetecería decir la frase de las películas de juicios: "No hay más preguntas, Señoría". Conocido el comportamiento y definición de la función seno y de las funciones cuadráticas es muy obvio que (4) es imposible. No obstante si tienes dudas, se puede demostrar explícitamente que es imposible que \( y=sin(x) \) verifique la ecuación de una determinada cónica fija:

\( ax^2+by^2+2cxy+2dx+2ey+f=0 \)

Si quieres ver la demostración pregunta.

Saludos.

[ancape]

Luis
Ante todo agradecerte la atención que me prestas, sobre todo teniendo en cuenta la enorme actividad que desarrollas en el foro atendiendo a múltiples hilos.

En lo que sigue repetiré algo que ya he comentado en es este hilo; pero por dejarlo claro. En el gráfico \( MN \) es constante y por comodidad supondré que \( MN=1 \).
1) ¿Estás afirmando que en el gráfico que pongo la relación entre \( x=\widehat{AMN} \) e \( y=AM \) es cuadrática? Es decir que están relacionadas por la ecuación de una cónica:
\( ax^2+by^2+2cxy+2dx+2ey+f=0 \)
2) Por el Teorema de los Senos en el triángulo \( AMN \)
\( \dfrac{y}{\widehat{ANM}}=\dfrac{MN}{sin(135^o)}\quad \Leftrightarrow{}\quad \dfrac{y}{sin(\pi/4-x)}=\sqrt{2} \)
de donde:
\( \boxed{y=\sqrt{2}sin(\pi/4-x)} \)  (*)
¿De acuerdo con este cálculo?.

Estoy de acuerdo con el cálculo, aunque aún no sé si la expresión  \( \boxed{y=\sqrt{2}sin(\pi/4-x)} \)
Implica que y,x no están relacionados mediante una expresión cuadrática. Es claro que y no es función cuadrática de x, pero, ¿Existe una expresión cuadrática que los relaciona?

He intentado buscarla de múltiples formas, pero no la he encontrado ni he podido demostrar que exista. Lo único que tengo son las gráficas de interpolación que ajustan como un guante a las reales.

Pensando en el tema de la relación cuadrática x,y he visto que en realidad no hace falta pues lo único que se necesita es que el área del triángulo AMN dependa de forma cuadrática de AM. He dibujado con toda precisión la curva cuyas abcisas son las distancias AM y ordenadas las áreas de solapamiento asociadas y resulta que tal curva se ajusta mucho a la cuadrática interpolada pero desgraciadamente no son iguales. Ahora me queda pensar el porqué se parecen tanto.



Saludos