[ancape]

Dado un polígono ABC..... y un punto P1 en el lado AB, obtener un punto P2 en otro lado de forma que la recta P1P2 divida al polígono dado en dos partes de igual área,

[Luis Fuentes]

Hola

 ¿El polígono es un polígono cualquier posiblemente irregular? Si es así no se como se supone que hay que presentar la solución; dependerá fuertemente de las características del polígono, que requiere conocer todos los lados y sus ángulos o datos similares.

Saludos.

[ancape]

Hola

 ¿El polígono es un polígono cualquier posiblemente irregular? Si es así no se como se supone que hay que presentar la solución; dependerá fuertemente de las características del polígono, que requiere conocer todos los lados y sus ángulos o datos similares.

Saludos.

El polígono es cualquiera, posiblemente irregular. Sólo se requiere conocer el área del polígono y en general el área de cualquier polígono lo que es fácil con la triangulación adecuada. Tengo una construcción que no emplea mas que métodos geométricos sencillos, por eso está publicado en el apartado 'Problemas propuestos por todos'. Creo que merece la pena entretenerse un poco buscando una solución. Publicaré la mía en unos días y ya me diréis si es correcta.

Saludos 

[Luis Fuentes]

Hola

 mmm.. sigo sin tener claro que tipo de solución pide el problema. En todo caso algorítmica.

 Una idea es la siguiente (cuando el polígono es estrellado desde \( P \); por ejemplo si es convexo)

 1) Fijado el punto \( P \) triangularizamos el polígono uniendo el vértice \( P \) con cada arista.
 2) Sea \( T \) el área total del polígono.
 3) Vamos calculando las áreas de los triángulos, empezando por la arista siguiente a donde está en \( T_1,T_2,T_3,\ldots \)
 4) Vamos acumulando las áreas sumadas: \( S_1=T_1,S_2=T_1+T_2,S_3=T_1+T_2+T_3,\ldots \)
 5) Nos detenemos cuando \( S_k<T/2 \) pero \( S_{k+1}\geq T/2 \) y asís abemos que el punto que buscamos está en la arista del triángulo \( T_{k+1} \).
 6) Escogemos el punto buscado en el lado del polígono que está en el triángulo \( T_{k+1} \), midiendo la proporción del lado igual a:

\( \dfrac{T/2-S_k}{T_{k+1}} \)

 En este gráfico he implementado el método para ocho vértices. Pueden moverse todos ellos y el punto \( P \) y ver como varía la solución.


Saludos.
 

[ancape]

 Una idea es la siguiente (cuando el polígono es estrellado desde \( P \); por ejemplo si es convexo)

 1) Fijado el punto \( P \) triangularizamos el polígono uniendo el vértice \( P \) con cada arista.
 2) Sea \( T \) el área total del polígono.
 3) Vamos calculando las áreas de los triángulos, empezando por la arista siguiente a donde está en \( T_1,T_2,T_3,\ldots \)
 4) Vamos acumulando las áreas sumadas: \( S_1=T_1,S_2=T_1+T_2,S_3=T_1+T_2+T_3,\ldots \)
 5) Nos detenemos cuando \( S_k<T/2 \) pero \( S_{k+1}\geq T/2 \) y asís abemos que el punto que buscamos está en la arista del triángulo \( T_{k+1} \).
 6) Escogemos el punto buscado en el lado del polígono que está en el triángulo \( T_{k+1} \), midiendo la proporción del lado igual a:

La solución que yo encontré es prácticamente igual a la tuya, aunque el punto de partida no es un vértice sino un punto arbitrario en un lado. Únicamente varia el punto 6 donde encuentro el punto buscado mediante la altura del triángulo. Adjunto hoja de Geogebra con la construcción para un hexágono.

[Luis Fuentes]

Hola

La solución que yo encontré es prácticamente igual a la tuya, aunque el punto de partida no es un vértice sino un punto arbitrario en un lado.

Yo no parto de un vértice; el punto \( P \) es un punto cualquiera del lado \( AB \). Le llamé vértice porque lo uso como vértice de todos los triángulos de mi triangularización.

Saludos.