[nktclau]

Buenas tardes Querido Foro! espero todos se encuentren más que bien 

Necesito por favor de vuestra gran ayuda con el siguiente ejercicio, por favor! 

Encuentre todos los enteros positivos \( a \) que satisfacen simultáneamente las siguientes condiciones
\( (143: 26 a^{54321} + 5^{2020})\neq 1 \) y \( 2 ^{5a+2}\equiv{4} (7) \)

Hice lo siguiente

Sea \( d=(143: 26 a^{54321} + 5^{2020})\neq 1 \) y \( d \neq 1 \), entonces se verifica que \( \exists{p} \) primo positivo tal que \( p|d \).

Luego tenemos que \( p|d \) y por la definición de mcd que \( d|143 \) y \( d|26 a^{54321} + 5^{2020} \), así por transitividad de la relación divide se verifica que \( p|143 \) y \( p|26 a^{54321} + 5^{2020} \).

Si \( p|143 \Longleftrightarrow{p|11 \cdot 13}\Longrightarrow{p|11} \vee p|13 \) pues \( p \) es primo positivo.

Luego \( p|11\Longleftrightarrow{p=11} \)

Entonces es \( 11|143 \) y \( 11|26 a^{54321} + 5^{2020} \).

Supongo que \( 11|a\Leftrightarrow{a^{54321}\equiv{0}(11)} \)

Como \( 11 \not{|}5 \) queremos saber ¿\( r_{10}2020? \) \( 5^{2020}\equiv{0} (11) \)

Si \( 11 \not{|}a \Longrightarrow{a^{54321}\equiv{1}}(11) \)

Por lo tanto para que \( a \) entero positivo verifique la primera condición entonces se tiene que verificar que \( a\equiv{0}(11) \)

Ahora veamos la segunda condición: \( 2 ^{5a+2}\equiv{4} (7) \)

Como \( 7 \not{|}2 \) Quisiera saber ¿\( r_6(5a+2) \)? sabiendo que \( 11|a \) pues esto es lo que debe cumplirse para que satisfaga la primer condición.

Si \( 6|5a+2\Longrightarrow{2^{5a+2}\equiv{0}(7)} \)

Si \( 6 \not{|}5a+2\Longrightarrow{r_6(5a+2) \in \left\{{1,2,3,4,5}\right\}} \)

Supongo \( r_6(5a+2)=1\Longrightarrow{2^{5a+2}\equiv{2(7)}} \)

Supongo \( r_6(5a+2)=2\Longrightarrow{2^{5a+2}\equiv{4(7)}} \)

Supongo \( r_6(5a+2)=3\Longrightarrow{2^{5a+2}\equiv{1(7)}} \)

Supongo \( r_6(5a+2)=4\Longrightarrow{2^{5a+2}\equiv{2(7)}} \)

Supongo \( r_6(5a+2)=5\Longrightarrow{2^{5a+2}\equiv{4(7)}} \)

Veo que \( 2^{5a+2}\equiv{4}(7) \Leftrightarrow{r_6(5a+2)=2} \wedge r_6(5a+2)=5 \)

y es aquí donde me he perdido, por que no encuentro como "conectar " la primera condición \( 11|a \) con lo que he hallado, siempre y cuando lo hecho sea correcto.

Gracias AMIGOS! 

[feriva]

Hola, nktclau.

Si tienes

\( d=(143:26a^{54321}+5^{2020})\neq1 \)

La variable “a” no puede ser un múltiplo de 11, directamente, porque de esa manera la suma no puede tener ningún factor común con 143. Piensa que la operación es ésta

\( \dfrac{26a^{54321}}{11}+\dfrac{5^{2020}}{11} \)

Si queremos que sea divisible entre 11, como el segundo sumando no puede dejar resto cero al dividir entre 11 (porque sólo es múltiplo del primo 5) entonces tiene que dejar un resto que sumado al que deja el primer sumando dé un múltiplo dé 11. Por tanto, el primer sumando no puede dejar resto cero, tiene que ser distinto para completarse con el otro y sumar múltiplo de 11.

Saludos.

[Luis Fuentes]

Hola

Como \( 11 \not{|}5 \) queremos saber ¿\( r_{10}2020? \) \( 5^{2020}\equiv{0} (11) \)

No se si eso último que pones lo das por cierto o lo va a analizar. Desde luego no se cumple.

Y esta conclusión:

Por lo tanto para que \( a \) entero positivo verifique la primera condición entonces se tiene que verificar que \( a\equiv{0}(11) \)

Para analizar cuando \( 26a^{54321}+5^{2020} \) es múltiplo de \( 11 \), tienes que trabajar módulo \( 11 \). Todas las igualdades que voy a poner a continuación son mod \( 11 \).

Por el Pequeño Teorema de Fermat \( a^{11-1}=1 \) si \( a\neq 0 \). Entonces:

\( a^{54321}=a^{5432\cdot 10+1}=a^1 \)
\( 5^{2020}=1 \)

Por tanto:

\( 26a^{54321}+5^{2020}=4a+1 \)

Resolvemos \( 4a+1=0 \) mod \( 11 \):

\( 12a+3=0\quad \Leftrightarrow{}\quad a+3=0\quad \Leftrightarrow{}\quad a=-3=8 \)

Si haces un análisis parecido mod \( 13 \) verás que NUNCA se da que \( 26a^{54321}+5^{2020}=0 \) mod \( 13 \).

Es decir, de momento tenemos:

\( a=8 mod 11 \), es decir, \( a=8+11k \)

Ahora analizamos cuando \( 2^{5a+2}=2^{42+55k}=4 \) mod \( 7 \)

De nuevo por el pequeño Teorema de Fermat \( 2^{7-1}=1 \) mod \( 7 \) y así:

\( 2^{42+55k}=2^k \) mod \( 7 \)

Y probando para \( k=1,2,3,4,5,6 \) se ve que \( 2^k=4 \) mod \( 7 \) si y sólo si \( k=2 \) ó \( 5 \)  mod \( 6 \).

Por tanto:

i) \( k=2+6n \) y \( a=8+11k=30+66k \)

ó

ii) \( k=5+6n \) y \( a=8+11k=63+66k \)

Saludos.

[nktclau]

Buenas Tardes!! 

Muchas Gracias Luis Fuentes! por la BRILLANTE EXPLICACIÓN!!  la seguí de apoco y pensando bien cada paso y la verdad entendí perfectamente, ya que congruencia me ha costado un poco.

Mil Gracias Feriva por responder y acotar algo que no me percaté.

Saludos