Hola
Creo que lo que Luis trata de decir implícitamente es que utilizar reducción al absurdo en este caso no es lo más útil.
Hola manooooh,
Pues para el problema yo diria que si es posible una solución por reducción al absurdo.
Una prueba de ello es la prueba que mostraré al final de éste post.
Lo que yo pretendia era buscar una prueba que evite usar las derivadas. Pero dado el caso creo que me quedaré en el intento.
En tu primer post propones 3 enfoques. ¿No son suficientes ya en vez de rizar el rizo?
Saludos
Pues yó, como amante de la originalidad diria que nunca esta de más una solución propia y distinta a las ya conocidas.
Bueno ahí va mi prueba por reducción al absurdo (basado en el teorema de Rolle que implica usar derivadas)
Definimos la función $$f(x)=sinx-x$$ con $$x\in{[0,1]}$$
Notemos que $$f(0)=0$$ y $$f(1)=sin(1)-1<0$$
Supongamos que existe algún $$x_0\in{(0,1)}$$ tal que $$sinx_0-x_0>0$$
Y como $$f(x)$$ es continua entonces debe de existir al menos un $$x_1\in{(0,1)}$$ tal que $$f(x_1)=0$$
Entonces
Como $$f(x)$$ es continua en $$[0,1]$$ y derivable en todo $$(0,1)$$
Además $$f(0)=f(x_1)=0$$
Por el teorema de Rolle existe $$t\in{(0,x_1)}$$
Tal que $$f'(t)=0$$
Pero notemos que $$f'(x)=cosx-1<0$$ para todo $$x\in{(0,1)}$$ en particular en el intervalo $$(0,x_1)$$
Y esto es un absurdo
Por lo tanto no existe tal $$t$$ y tampoco existe tal $$x_1$$ y como consecuencia final
No existe ningun $$x_0\in{(0,1)}$$
Tal que $$sinx_0-x_0>0$$
