[thadeu]

Hola a todos
En esta ocasión  me encontré un video en el que resuelven un problema de unos radicales infinitos.
La verdad, no quedé convencido de esa solución.
En el paso clave en el que despues de elevar al cuadrado vuelve a llamar $$x$$ a los radicales que le quedan no me convence para nada.
En particular no tengo una solución propia a dicho problema.
 Les dejo el link del video

Me gustaria conocer sus puntos de vista
Y en caso el procedimiento del video no sea correcto.

Cual seria la manera correcta de proceder con ese tioo de problamas.
Gracias y saludos a todos

[Luis Fuentes]

Hola

 No se muy bien porque no ten convence el vídeo. En principio si admites que esto esta perfectamente definido:

\( x=\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+\ldots}}} \) (raíces "hasta el infinito")

 Desde luego si elevamos al cuadrado:

\(  x^2=6+\color{red}\sqrt{6+\sqrt{6+\ldots}}\color{black} \)

 la parte marcada en rojo es EXACTAMENTE lo que arriba hemos llamado \( x \).

 Ahora si quieres hacer esto más rigurosamente sería así.

 Defines la sucesión recursiva \( x_1=\sqrt{6} \) y \( x_{n+1}=\sqrt{6+x_n} \), entonces:

\( x=\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{}x_n \)

 Si admitimos que esa sucesión es convergente, es decir, que ese límite existe usamos dos cosas:

1) \( \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{}x_n=\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{}x_{n+1} \) (esta propiedad es cierta para cualquier sucesión convergente).
2) Por ser \( f(y)=\sqrt{6+y} \) una función continua:

\( \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{}f(x_n)=f\left(\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{}x_n\right) \)

 Entonces aplicando límites en \( x_{n+1}=\sqrt{6+x_n} \):

\( \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}x_{n+1}=\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}\sqrt{6+x_n} \)

 y por (1) y (2) queda:

\( x=\sqrt{6+x} \)

 y ahora puedes aplicar el razonamiento del vídeo.

 Queda el cabo suelto de justificar que la sucesión es convergente. Puedes ver que es contractil por ejemplo:

\( |x_{n+1}-x_n|=|\sqrt{6+x_n}-\sqrt{6+x_{n-1}}|=\dfrac{|6+x_n-6-x_{n-1}|}{\sqrt{6+x_n}+\sqrt{6+x_{n-1}}}\leq \dfrac{1}{4}|x_{n}-x_{n-1}| \)

 y por tanto convergente.

Saludos.