[Nub]

Hola, tengo unas preguntas de como demostrar cosas como el limite por definición y probablemente si la entienda es posible que pueda demostrar usando también la definición de continuidad (es media parecida ) pero eso es otra cosa. Ahora:

Definicion de limite:


Ejemplo:

\( \lim_{x \to 3}(2x+1)=7
 \)

Ahora simplemente remplazare los datos en la definición
 
\( 0 < |x-3| < \delta \implies |(2x+1) - 7| < \epsilon \)

1) Lo primero que se me ocurrió al ver esto es la demostración directa \( A\Longrightarrow{B} \) donde comienzo por A e intento llegar a B, pero...
2) Según vi, necesito hallar un delta que dependa de epsilon y luego hacer la parte 1) ya teniendo el delta
3) Ahora la pregunta, como encuentro el delta, cual es la información que PUEDO usar para hallar este delta ya que vi en algunos vídeos de gente que usaba la TESIS ( O la parte B) pero... si usas la tesis no es literalmente usar información que no sabes que es cierta?
4) Al no saber como demostrar esto fui a ver cosas genericas sobre demostraciones, esto puede tener algo que ver con el "método por construcción" pregunto esto, porque me gustaría saber como demostrar estos enunciados como este que tienen "existe" o "para todo" y no simplemente son un \( A\Longrightarrow{B} \)

Gracias

[Luis Fuentes]

Hola

 Como bien dices tienes que demostar que, dado un \( \epsilon>0 \) existe un \( \delta>0 \) tal que si:

\( 0<|x-a|<\delta \)

entonces

\( |f(x)-L|<\epsilon \)  (B)

 Entonces lo que suele hacerse es plantear la expresión (B), en concreto, \( |f(x)-f(a)| \) e intentar manipularla mediante una cadena de igualdades y/o cotas superiores que dependan de la manera más clara y directa posible de \( |x-a| \); de esta forma sabremos si queremos que esa cota superior encontrada sea menor que \( \epsilon \), cuanto tenemos que acotar \( |x-a| \), es decir, que \( \delta \) tenemos que coger.

 Por ejemplo en tu caso:

\( |f(x)-L|=|2x+1-7|=|2x-6|=2|x-3| \) (*)

 yo quiero tener garantizado que:

\( |f(x)-L|=|2x+1-7|=|2x-6|=2|x-3|<\epsilon \)

 bajo la hipótesis de que \( |x-3|<\delta \) donde el \( \delta \) lo escogeremos nosotros. Pero a la luz de (*) es claro que si \( |x-3|<\epsilon/2 \) entonces:

\( |f(x)-L|=|2x+1-7|=|2x-6|=2|x-3|<2\cdot (\epsilon/2)=\epsilon \)

y por tanto basta tomar \( \delta=\epsilon/2 \).

Saludos.

[Nub]

Hola

 Como bien dices tienes que demostar que, dado un \( \epsilon>0 \) existe un \( \delta>0 \) tal que si:

\( 0<|x-a|<\delta \)

entonces

\( |f(x)-L|<\epsilon \)  (B)

 Entonces lo que suele hacerse es plantear la expresión (B), en concreto, \( |f(x)-f(a)| \) e intentar manipularla mediante una cadena de igualdades y/o cotas superiores que dependan de la manera más clara y directa posible de \( |x-a| \); de esta forma sabremos si queremos que esa cota superior encontrada sea menor que \( \epsilon \), cuanto tenemos que acotar \( |x-a| \), es decir, que \( \delta \) tenemos que coger.

 Por ejemplo en tu caso:

\( |f(x)-L|=|2x+1-7|=|2x-6|=2|x-3| \) (*)

 yo quiero tener garantizado que:

\( |f(x)-L|=|2x+1-7|=|2x-6|=2|x-3|<\epsilon \)

 bajo la hipótesis de que \( |x-3|<\delta \) donde el \( \delta \) lo escogeremos nosotros. Pero a la luz de (*) es claro que si \( |x-3|<\epsilon/2 \) entonces:

\( |f(x)-L|=|2x+1-7|=|2x-6|=2|x-3|<2\cdot (\epsilon/2)=\epsilon \)

y por tanto basta tomar \( \delta=\epsilon/2 \).

Saludos.

Entendí bastante, pero que dirías de mi pregunta 3) , tambien, una cosa es encontrar el delta y otro demostrarlo no?

PD: Creo que hay un error, colcaste \( |f(x)-f(a)| \)

[mg]

Entendí bastante, pero que dirías de mi pregunta 3) , tambien, una cosa es encontrar el delta y otro demostrarlo no?

La cosa es que si tomas el $$\delta$$ que ha indicado Luis entonces se verifica que $$A\Longrightarrow{}B$$ pues si $$\delta=\epsilon/2$$ entonces $$2|x-3|<2\delta=2(\epsilon/2)=\epsilon$$. ¿Ahora sí?

Respecto a lo que has dicho de $$|f(x)-f(a)|$$ estoy seguro de que Luis ha tenido un pequeño lapsus, porque eso es para probar que $$f$$  es continua en $$a$$.

[Nub]

Entendí bastante, pero que dirías de mi pregunta 3) , tambien, una cosa es encontrar el delta y otro demostrarlo no?

La cosa es que si tomas el $$\delta$$ que ha indicado Luis entonces se verifica que $$A\Longrightarrow{}B$$ pues si $$\delta=\epsilon/2$$ entonces $$2|x-3|<2\delta=2(\epsilon/2)=\epsilon$$. ¿Ahora sí?

Respecto a lo que has dicho de $$|f(x)-f(a)|$$ estoy seguro de que Luis ha tenido un pequeño lapsus, porque eso es para probar que $$f$$  es continua en $$a$$.

Entiendo, entonces se podría decir que hay 2 pasos, encontrar el delta y luego demostrarlo con ese delta.

Ahora, podríamos decir que para encontrar el delta vale todo? es decir cualquier información ya sea de la tesis se puede usar?

[mg]

Entendí bastante, pero que dirías de mi pregunta 3) , tambien, una cosa es encontrar el delta y otro demostrarlo no?

La cosa es que si tomas el $$\delta$$ que ha indicado Luis entonces se verifica que $$A\Longrightarrow{}B$$ pues si $$\delta=\epsilon/2$$ entonces $$2|x-3|<2\delta=2(\epsilon/2)=\epsilon$$. ¿Ahora sí?

Respecto a lo que has dicho de $$|f(x)-f(a)|$$ estoy seguro de que Luis ha tenido un pequeño lapsus, porque eso es para probar que $$f$$  es continua en $$a$$.

Entiendo, entonces se podría decir que hay 2 pasos, encontrar el delta y luego demostrarlo con ese delta.

Ahora, podríamos decir que para encontrar el delta vale todo? es decir cualquier información ya sea de la tesis se puede usar?

La idea es más bien que empiezas planteando la tesis para buscar el $$\delta$$ adecuado y así poder plantear la hipótesis correcta. Es decir, exactamente el procedimiento que ha descrito Luis. Creo que para terminarlo de comprender a lo mejor deberías plantearte otro ejemplo y compartir tu resolución por aquí. 

[Nub]

Entendí bastante, pero que dirías de mi pregunta 3) , tambien, una cosa es encontrar el delta y otro demostrarlo no?

La cosa es que si tomas el $$\delta$$ que ha indicado Luis entonces se verifica que $$A\Longrightarrow{}B$$ pues si $$\delta=\epsilon/2$$ entonces $$2|x-3|<2\delta=2(\epsilon/2)=\epsilon$$. ¿Ahora sí?

Respecto a lo que has dicho de $$|f(x)-f(a)|$$ estoy seguro de que Luis ha tenido un pequeño lapsus, porque eso es para probar que $$f$$  es continua en $$a$$.

Entiendo, entonces se podría decir que hay 2 pasos, encontrar el delta y luego demostrarlo con ese delta.

Ahora, podríamos decir que para encontrar el delta vale todo? es decir cualquier información ya sea de la tesis se puede usar?

La idea es más bien que empiezas planteando la tesis para buscar el $$\delta$$ adecuado y así poder plantear la hipótesis correcta. Es decir, exactamente el procedimiento que ha descrito Luis. Creo que para terminarlo de comprender a lo mejor deberías plantearte otro ejemplo y compartir tu resolución por aquí.

: O ahora tiene sentido. Gracias