[zorropardo]

Dado $$a \in \mathbb{N}$$  sea $$ Y  \subset{ \mathbb{N}  }$$ un conjunto con las siguientes propiedades:
(1)  $$a \in Y.$$
(2) $$n \in Y  \Rightarrow{ n+1 \in Y}.$$
Probar que $$Y$$ contiene todos los numeros naturales mayores o iguales a $$a.$$
Probaremos por inducción. Considero $$X=I_{a} \cup{ Y}$$ donde $$I_{a}=\{ 1,2,3,..., a-1,a \}$$
Afirmo que $$X=\mathbb{N}$$

Como $$1 \in I_{a} \subset{ I_{a} \cup{Y}} \Rightarrow{ 1 \in X.} $$
Por hipotesis inductiva tenemos $$ n \in X. $$

Como $$n \in X \Rightarrow{  n \in I_{a} \mbox{ ou }  n \in Y}$$ pero $$ n \not\in I_{a}.$$ Asi $$n \in Y \Rightarrow{ n+1 \in Y \subset{Y \cup{I_{a}}}=X}$$ esta ultima implicacion por propiedad de $$Y.$$
Luego  $$n+1 \in X.$$ Por tanto $$X = \mathbb{N}.$$
Esta bien probado o tengo algun error 

[Luis Fuentes]

Hola

Dado $$a \in \mathbb{N}$$  sea $$ Y  \subset{ \mathbb{N}  }$$ un conjunto con las siguientes propiedades:
(1)  $$a \in Y.$$
(2) $$n \in Y  \Rightarrow{ n+1 \in Y}.$$
Probar que $$Y$$ contiene todos los numeros naturales mayores o iguales a $$a.$$
Probaremos por inducción. Considero $$X=I_{a} \cup{ Y}$$ donde $$I_{a}=\{ 1,2,3,..., a-1,\color{red}a\color{black} \}$$

El conjunto \( I_a \) sólo debe de llegar hasta \( a-1 \).

Afirmo que $$X=\mathbb{N}$$

Como $$1 \in I_{a} \subset{ I_{a} \cup{Y}} \Rightarrow{ 1 \in X.} $$
Por hipotesis inductiva tenemos $$ n \in X. $$

Como $$n \in X \Rightarrow{  n \in I_{a} \mbox{ ou }  n \in Y}$$ pero $$ n \not\in I_{a}.$$

Aquí deberías de distinguir los dos casos:

- O bien \( n\in I_{a} \) con lo cual si \( n\in \{1,\ldots,a-2\} \) entonces \( n+1\in \{2,\ldots,a-1\}\subset I_a\subset X \), o \( n=a-1 \) y \( n+1=a\in Y\subset X \).

- O bien \( n\in Y \) y por hipótesis \( n+1\in Y\subset X \).

Saludos.

[zorropardo]

Hola, segun el libro esta escrito asi: $$I_{a}$$ el conjunto de lo numeros naturales $$ \leq{a} .$$ Descrito de esa forma seria analogo o cambiaria alguna cosa  .

[Luis Fuentes]

Hola

Hola, segun el libro esta escrito asi: $$I_{a}$$ el conjunto de lo numeros naturales $$ \leq{a} .$$ Descrito de esa forma seria analogo o cambiaria alguna cosa  .

Bueno en ese caso \( I_a \) e \( Y \) tiene un elemento en común: \( a \). La cosa quedaría casi igual con las modificaciones que indico en rojo:

Como $$1 \in I_{a} \subset{ I_{a} \cup{Y}} \Rightarrow{ 1 \in X.} $$
Por hipotesis inductiva tenemos $$ n \in X. $$

Como $$n \in X \Rightarrow{  n \in I_{a} \mbox{ ou }  n \in Y}$$ pero $$ n \not\in I_{a}.$$

Aquí deberías de distinguir los dos casos:

- O bien \( n\in I_{a}\color{red}-\{a\}\color{black} \) con lo cual si \( n\in \{1,\ldots,a-2\} \) entonces \( n+1\in \{2,\ldots,a-1\}\subset I_a\subset X \), o \( n=a-1 \) y \( n+1=a\in Y\subset X \).

- O bien \( n\in Y \) y por hipótesis \( n+1\in Y\subset X \).

 Por cierto en sentido estricto lo que hemos probado es que \( X=\Bbb N \). Te faltaría justificar (aunque es muy inmediato) que \( Y \) contiene a todos los naturales mayores que \( a \).

Saludos.

[zorropardo]

Muy bien, gracias.