Probar por inducción que: $$1^3+2^3+...+n^3=\frac{1}{4}n^2(n+1)^2$$
Hice lo siguiente :
P(1) : $$1^3=1=\frac{1}{4}1^2(1+1)^2 $$ entonces para $$n=1$$ se verifica.
Supongamos que vale para $$n , P(n): 1^3+2^3+...+n^3=\frac{1}{4}n^2(n+1)^2$$ (Hipotesis inductiva).
Veamos si cumple para $$n+1$$
$$1^3+2^3+...+n^3+(n+1)^3=\frac{1}{4}n^2(n+1)^2+(n+1)^3$$ aqui use la hipotesis inductiva.
$$ = (n+1)^2 [\frac{n^2}{4}+(n+1)]= (n+1)^2+(\frac{n^2+4n+4}{4})=\frac{(n+1)^2(n+2)^2}{4}$$
asi es valido para $$n+1.$$ Esta bien mi raciocinio 
No sé, no lo he analizado mucho; pero mira, es muy fácil así:
\( 1^{3}+2^{3}+...+n^{3}=\frac{1}{4}n^{2}(n+1)^{2}
\)
Para n+1se tiene
\( 1^{3}+2^{3}+...+n^{3}+(n+1)^{3}=\frac{1}{4}(n+1)^{2}(n+2)^{2}
\), o sea
\( 1^{3}+2^{3}+...+n^{3}+(n+1)^{3}=\frac{1}{4}(n+1)^{2}(n^{2}+4+4n)=
\)
y al multiplicar por la distributiva te aparece la hipótesis de inducción
\( {\color{blue}\frac{1}{4}n^{2}(n+1)^{2}}+(n+1)^{2}+n(n+1)^{2}\Rightarrow
\)
\( (n+1)^{3}=(n+1)^{2}(n+1)
\)
Saludos.
