[Dark]

Existe esta propiedad de divisibilidad.

Sean $$a,b,c\in\mathbb Z$$, Si $$a\mid b$$ y $$a\mid b+c\Longrightarrow{}a\mid c$$.


Mi pregunta es, será que si tenemos que si $$a\nmid c \Longrightarrow{} a\nmid b+c$$ teniendo que $$a\mid b$$?

[Fernando Revilla]

Existe esta propiedad de divisibilidad. Sean $$a,b,c\in\mathbb Z$$, Si $$a\mid b$$ y $$a\mid b+c\Longrightarrow{}a\mid c$$.
Mi pregunta es, será que si tenemos que si $$a\nmid c \Longrightarrow{} a\nmid b+c$$ teniendo que $$a\mid b$$?

Efectivamente, se verifica \( a\mid b\wedge a\nmid c\Rightarrow a\nmid b+c \). Por reducción al absurdo: si fuera \( a\mid b+c \) entonces al ser \( a\mid b \), por la primera propiedad que mencionas ocurriría \( a\mid c \) (contradicción).

[Dark]

Y si $$a\nmid b$$ y $$a\nmid c$$, ¿se podría concluir algo con respecto a la división de $$b+c$$ y $$a$$? O eso no me garantiza nada.

[feriva]

y si $$a\nmid b$$ y $$a\nmid c$$, se podría concluir algo con respecto a la división de $$b+c$$ y $$a$$? O eso no me garantiza nada.

Mira tú mismo cuántas cosas pueden pasar

\( \dfrac{{5+2}}{3}
  \); \( \dfrac{{11+13}}{6}
  \)

He cambiado el ejemplo primero, que no era lo que quería

Saludos.

[Juan Pablo Sancho]

Para el primero :
Si \( a|b  \) y \( a|b+c \) entonces \( a|(b+c)-b \).
Para el segundo tienes que no garantiza nada:
\( 4 \nmid 5 \) y \( 4 \nmid 3 \) pero \( 4 | 3+5 \)
\( 4\nmid 5 \) y \( 4 \nmid 5 \) y \( 4 \nmid 5+5 \).