[LeJoha]

Buenas noches, he intentado realizar estas demostraciones pero no se me ocurre de que forma empezar.
Sea \( n \in \mathbb{Z}^+ \). Muestre que:

(1) \( \tau(n) < 2 \cdot \sqrt{n} \);

(2) \( \dfrac{\sigma(n)}{\tau(n)} \geq \sqrt{n} \);

(3) \( \dfrac{\sigma(n!)}{n!} \geq 1 + \dfrac{1}{2} + \cdots + \dfrac{1}{n} \).
Latex corregido por moderador, el texto y las fórmulas se ponen con latex no con imagenes

[Luis Fuentes]

Hola

Buenas noches, he intentado realizar estas demostraciones pero no se me ocurre de que forma empezar.
Sea \( n \in \mathbb{Z}^+ \). Muestre que:

(1) \( \tau(n) < 2 \cdot \sqrt{n} \);

La función \( \tau(n) \) cuenta el número de divisores menores o iguales que \( n \).

Ten en cuenta que si \( d \) es divisor de \( n \), entonces \( n/d \) también lo es. Y o bien \( d \) o bien \( n/d \) es menor o igual que \( \sqrt{n} \) (si los dos fuesen mayores su producto sería mayor que \( n \)).

Entonces:

- Si \( \sqrt{n} \) no es entero el conjunto de divisores de \( n \) es:

\( \displaystyle\bigcup_{d<\sqrt{n},d|n}\{d,n/d\} \)

y dado que a lo sumo unimos \( \sqrt{n}-1 \) conjuntos de dos elementos:

\( \tau(n)\leq 2(\sqrt{n}-1)<2\sqrt{n} \)

- Si \( \sqrt{n} \) es entero el conjunto de divisores de \( n \) es:

\( \{\sqrt{n}\}\cup \displaystyle\bigcup_{d<\sqrt{n},d|n}\{d,n/d\} \)

y por tanto:

\( \tau(n)\leq 2(\sqrt{n}-1)+1<2\sqrt{n} \)

Saludos.

[Luis Fuentes]

Hola

(2) \( \dfrac{\sigma(n)}{\tau(n)} \geq \sqrt{n} \);

Quedamos que \( k=\tau(n) \) cuenta el número de divisores menores o iguales que \( n \). Supongamos que los divisores son \( d_1,d_2,\ldots,d_k \). Nota que también serían los divisores ordenados en orden inverso: \( n/d_1,n/d_2,\ldots,n/d_k \)

Por otra parte \( \sigma(n) \) es la suma de tales divisores:

\( \sigma(n)=\displaystyle\sum_{i=1}^k{}d_i \)

Por otra parte por la desigualdad de Cauchy-Swartz sabemos que dados \( (x_1,x_2,\ldots,x_k) \) y \( (y_1,y_2,\ldots,y_k) \):

\( x_1y_1+x_2y_2+\ldots+x_kx_k\leq \sqrt{x_1^2+x_2^2+\ldots+x_k^2}\sqrt{y_1^2+y_2^2+\ldots+y_k^2} \)

Aplícalo a:

\( (x_1,x_2,\ldots,x_k)=(\sqrt{d_1},\sqrt{d_2},\ldots,\sqrt{d_k}) \)

\( (y_1,y_2,\ldots,y_k)=(\sqrt{n/d_1},\sqrt{n/d_2},\ldots,\sqrt{n/d_k}) \)

y conlcuye.

Saludos.