[Richard R Richard]

He leído la siguiente afirmación

Entre dos números reales cualesquiera, siempre podemos encontrar un racional y un irracional por lo menos

Primer pregunta, es cierto? la existencia del real me la supongo, pero con la del racional me lleno de dudas.


Como se demuestra? hay algún teorema?


Gracias.

[manooooh]

Hola

Mira por aquí:

https://warwick.ac.uk/fac/sci/maths/people/staff/oleg_zaboronski/analysisi/notes-ma131_ch5.pdf

https://www.math.wustl.edu/~freiwald/310ratbetweenreals.pdf

https://math.stackexchange.com/questions/2602418/proof-there-is-a-rational-between-any-two-reals

Saludos

[Juan Pablo Sancho]

   Se adelantó manooooh , lo pongo en spoiler.

Spoiler

Punto_1: sea \( x,y \in \mathbb{R} \) entonces si \( y -x > 1 \) existe \( n \in \mathbb{Z} \) con \( x < n < y \)
   
   Prueba :
   
   Usaremos que:\( \llcorner u\lrcorner \leq u < \llcorner u \lrcorner + 1 \)
   Tenemos que \(  y > x+1  \) luego :
   
   \( x < \llcorner x \lrcorner + 1 \leq x+1 < y  \) hacemos \( n = \llcorner x \lrcorner + 1 \)  y lo tenemos.
   
   Punto_2:  Supóngase que \( x<y \), entonces existe un racional \( r \) verificando:
   
   \( x < r < y \) (Que es el caso que preguntas)
   tenemos que existe \( n \in \mathbb{N}  \) verificando \( \dfrac{1}{n} < y-x \) luego \( 1 < ny - nx \) existe un entero \( m \) con:
   
   \( nx < m < ny \) queda \( x < \dfrac{m}{n} < y  \)
   
   Punto_3: Sean \( x,y \in \mathbb{Q} \) con \( x<y \) entonces existe \( \alpha \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q} \) verificando:
   
   \( x < \alpha < y  \)
   
   Sea \( \varepsilon \in ]0,1[ \setminus{Q}  \) entonces existe \( n \in \mathbb{N}  \) verificando que:
   
   \( \dfrac{\varepsilon}{n} < y-x \) entonces \( 0 < \varepsilon < ny - nx \) que es equivalente a \( nx < \varepsilon +nx < ny \)
   
   Sólo hay que poner \( \alpha = \dfrac{\varepsilon + nx}{n}  \) y lo tenemos
   
   Punto_4: Supongamos que \( x < y \) ,demostrar que existe un irracional entre \( x \) e \( y \).
   
   Por el punto dos existe \( q_1 \) verificando \( x < q_1 < y \) por la misma razón existe \( q_2 \) verificando \( q_1 < q_2 < y \), por el punto tres existe un irracional \( \alpha \) verificando \( q_1 < \alpha < q_2 \)

[cerrar]

[Richard R Richard]

Que placer leerlo en español.. 
Gracias ambos por los links y la demostración

Cómo se justica que existe n tal que \( n(y-x)>1 \) si la diferencia la puedo hacer tan pequeña como desee.


Si se puede demostrar que entre dos racionales consecutivos existen infinidad de reales como lo hizo Cantor. Porqué lo contrario elegir dos de esos reales  intermedios y ya suponer no hay ningún racional por la propia definición de ese teorema, me resulta contraintiitivo que pueda ser cierto ambas cosas a la vez.

[Juan Pablo Sancho]

Tienes \( y > x  \) fijo y tomo \( y-x > 0  \) un numero positivo , como \( \dfrac{1}{n}  \) se puede tan pequeño como queramos, habráun \( n \in \mathbb{N}  \) con \( \dfrac{1}{n} < y-x  \), multiplicamos por \( n \)  lo tenemos.
Lo ultimo que preguntas no lo he entendido.

[Luis Fuentes]

Hola

Si se puede demostrar que entre dos racionales consecutivos

Sospecho que estás mezclando la posibilidad de hacer una lista de los racionales biyectiva con los naturales (en esa lista cada racional tendría un "siguiente"), con el hecho de que entre dos racionales ordenados con su orden natural (y no según esa lista biyectiva con los naturales) siempre exista otro racional. Con lo cual no tiene sentido hablar de "dos racionales consecutivos".

Saludos.

[Richard R Richard]

Gracias repensaré lo de existencia los racionales consecutivos.
También que n puede ser tan grande como se quiera.

[feriva]

repensaré lo de existencia los racionales consecutivos.
También que n puede ser tan grande como se quiera.

Claro, por eso es. Al haber naturales \( n
  \) tan grandes como se quiera, ello implica que haya racionales así \( \dfrac{1}{n}
  \) tan pequeños como se quiera, lo que significa que no existe distancia mínima entre racionales (por ejemplo, entre un racional \( q
  \) y otro \( q+\dfrac{1}{n}
  \) existen racionales intermedios \(  q+\dfrac{1}{n+k}
  \) para k=1,2,3... sin que se acaben) esto impide que se pueda hablar de dos racionales consecutivos (en el sentido de que no haya ningún otro racional entre medias). En cambio, entre los naturales sí existe una distancia mínima, que es 1; el 1 hace de “límite de cercanía”, entre n y n+1 no hay otro natural.

...

Intuitivamente, si suponemos dos irracionales muy próximos, algo así

5,13456765489876543454345522010034123...

5,13456765489876543454345522010033123...

tenemos, por ejemplo, este racional intermedio

5,13456765489876543454345522010033223

Al ser distintos y tener infinitas cifras, va a haber un sitio por donde vamos a poder “cortar” para meter un número de una cantidad finita de cifras (racional) que quede entre los dos; ya que, una cantidad finita puede ser tan grande como queramos.

De modo parecido puedes meter entre medias un irracional; basta “prolongar” ese mismo racional.

Saludos.

[Richard R Richard]

Al haber naturales \( n
  \) tan grandes como se quiera, ello implica que haya racionales así \( \dfrac{1}{n}
  \) tan pequeños como se quiera, lo que significa que no existe distancia mínima entre racionales (por ejemplo, entre un racional \( q
  \) y otro \( q+\dfrac{1}{n}
  \) existen racionales intermedios \(  q+\dfrac{1}{n+k}
  \) para k=1,2,3... sin que se acaben) esto impide que se pueda hablar de dos racionales consecutivos

Mas claro que el agua clara , gracias!!!