Hola
El enunciado dice:
Sean \( XYZ+Y^3-Z^3 \) y \( XYZ-Y^3+Z^3 \) dos curvas algebraicas proyectivas. Calcular la multiplicidad de la intersección en cada uno de los puntos de intersección.
He encontrado que son (1:0:0) y (0:1:1), pero no consigo calcular la multiplicidad.
Usa la propiedades del número de intersección de dos curvas.
Para el punto \( (1,0,0) \) consideramos la carta afín \( x\neq 0 \), tomando \( x=1 \). Buscamos el número de intersección del origen.
\( I(yz+y^3-z^3,yz-y^3+z^3)=I(2yz,yz-y^3+z^3) \) (P7)
\( I(2yz,yz-y^3+z^3)=I(y,yz-y^3+z^3)+I(z,yz-y^3+z^3) \) (P6)
\( I(y,yz-y^3+z^3)+I(z,yz-y^3+z^3)=I(y,z^3)+I(z,y^3) \) (P7)
\( I(y,yz-y^3+z^3)+I(z,yz-y^3+z^3)=3I(y,z)+3I(z,y)=6I(y,z)=6 \) (P6) (P5)
Intenta el otro punto. Puedes tomar la carta afín \( z\neq 0 \). Es cómodo hacer un cambio de variable \( y'=y-1 \) para que el punto de corte esté en el origen.
Sea el haz de curvas \( \lambda XYZ + \mu(Y^3-Z^3) \), cuantas rectas por \( (1:0:0) \) pueden ser tangentes a alguna curva del haz en algún punto?
Si consideras la carta afín \( x\neq 0 \), el haz queda:
\( \lambda yz+\mu(y^3-z^3)=0 \)
Si \( \lambda\neq 0 \) la componente homogénea de menor grado es \( yz \) que descompone en \( y=0 \) y \( z=0 \) que son las dos tangentes.
Si \( \lambda=0 \) te queda \( y^3-z^3=0. \) Ahí depende si trabajas en los reales o en los complejos.
Saludos.
P.D. Si trabajas en los complejos te faltan dos puntos más de intersección \( (0:1:z) \) siendo \( z \) las raíces complejas de \( z^3=1 \).
