Hola,
Supongamos que \( \pmb{a^3+b^3+c^3=0} \) , para \( a,b,c \) enteros -y- coprimos entre sí.
Si \( 3 \) no divide á \( abc \) ; puesto que \( (\mathbb{Z}/9\mathbb{Z})^3=\{0,1,-1\} \) , tendremos que \( a^3+b^3+c^3\not\equiv{0} \) mod \( 9 \) . Lo que no puede ser.
Luego \( 3 \) debe dividir á \( abc \) . Y no perdemos generalidad si suponemos que \( 3 \) divide á \( c \) .
De esta manera, sin perder generalidad tampoco: \( (a^3\equiv{1})+(b^3\equiv{-1})+(c^3\equiv{0})=0 \) mod \( 3 \) .
Y entonces:
\( -a^3=b^3+c^3=(b+c)((b+c)^2-3bc) \) . De donde \( b+c \) -y- \( (b+c)^2-3bc \) serán coprimos y terceras potencias, dado que \( 3 \) divide á \( c \) . Así: \( b+c=a_1^3\equiv{(-1+0)}\equiv{-1} \) mod \( 3 \) -y- \( (b+c)^2-3bc=a_2^3\equiv{1} \) mod \( 3 \) , para \( a_1,a_2 \) factores coprimos de \( a \) . Pues por el pequeño teorema de Fermat: \( b^3\equiv{b}\equiv{-1} \) mod \( 3 \) .
\( -b^3=a^3+c^3=(a+c)((a+c)^2-3ac) \) . De donde \( a+c \) -y- \( (a+c)^2-3ac \) serán coprimos y terceras potencias. Así: \( a+c=b_1^3\equiv{(1+0)}\equiv{1} \) mod \( 3 \) -y- \( (a+c)^2-3ac=b_2^3\equiv{1} \) mod \( 3 \) , para \( b_1,b_2 \) factores coprimos de \( b \) . Pues por el pequeño teorema de Fermat: \( a^3\equiv{a}\equiv{1} \) mod \( 3 \) .
\( -c^3=a^3+b^3=(a+b)((a+b)^2-3ab) \) . De donde \( a+b \) -y- \( (a+b)^2-3ab \) serán coprimos y terceras potencias salvo por \( 3 \) ; puesto que \( 3 \) , que divide á \( c \) , debe dividir á \( a+b \) . Así: \( a+b=3^{3k-1}c_1^3\equiv{0} \) mod \( 3 \) -y- \( (a+b)^2-3ab=3c_2^3\equiv{0} \) mod \( 3 \) , para \( c_1,c_2 \) factores coprimos de \( c \) -y- \( k\in{\mathbb{N}} \) .
Por otra parte, como \( a^3+b^3+c^3=0 \) , existirá un \( a+b+c+d=0 \) , para un determinado \( d \) entero -y- : \( -d=a+b+c \) .
Entonces:
\( -d=(a)+(b+c)=a_1a_2+a_1^3=a_1(a_2+a_1^2) \) .
\( -d=(b)+(a+c)=b_1b_2+b_1^3=b_1(b_2+b_1^2) \) .
\( -d=(c)+(a+b)=3^kc_1c_2+3^{3k-1}c_1^3=3^kc_1(c_2+3^{2k-1}c_1^2) \) .
Así: \( -d=3^ka_1b_1c_1q \) , para un \( q \) entero, probablemente igual á \( 1 \) .
Pero como: \( -d=a_1(a_2+a_1^2) \) -y- \( -d=b_1(b_2+b_1^2) \) ; \( 3^k \) debe dividir á \( a_2+a_1^2 \) -y- á \( b_2+b_1^2 \) . Lo que no es posible, ya que ambos factores son congruentes con \( 2 \) módulo \( 3 \) , al ser \( a_2^3\equiv{a_2}\equiv{1} \) -y- \( b_2^3\equiv{b_2}\equiv{1} \) módulo \( 3 \) .
Un saludo,
