Hola, necesito resolver este sistema de ecuaciones, o saber si tiene solución en enteros. Lo necesito para demostrar el teorema de Fermat para N = 5. Salvo error he demostrado que si existe \( x,y,z \) tal que \( x^5+y^5=z^5 \) entonces no puede existir solución al sistema. si encuentro alguna solución entonces es que la premisa no se puede dar y seria una demostración del UTF para n = 5.
Este es el sistema.:
\( 3 * a ^ 3 + b ^ 3 - 3 * a ^ 2 * b + 6 * b ^ 2 * a + 3 * a1 ^ 3 + b1 ^ 3 - 3 * a1 ^ 2 * b1 + 6 * b1 ^ 2 * a1 + 3 * a2 ^ 3 + b2 ^ 3 - 3 * a2 ^ 2 * b2 + 6 * b2 ^ 2 * a2 = 0 \\ -a ^ 3 + 3 * b ^ 3 + 6 * a ^ 2 * b + 3 * b ^ 2 * a - a1 ^ 3 + 3 * b1 ^ 3 + 6 * a1 ^ 2 * b1 + 3 * b1 ^ 2 * a1 - a2 ^ 3 + 3 * b2 ^ 3 + 6 * a2 ^ 2 * b2 + 3 * b2 ^ 2 * a2= 0 \\ 3 * b ^ 3 + 3 * a ^ 2 * b - 3 * a ^ 2 * c + 6 * a * b * c + 3 * b1 ^ 3 + 3 * a1 ^ 2 * b1 - 3 * a1 ^ 2 * c1 + 6 * a1 * b1 * c1 + 3 * b2 ^ 3 + 3 * a2 ^ 2 * b2 - 3 * a2 ^ 2 * c2 + 6 * a2 * b2 * c2 = 0 \\ 6 * b ^ 3 + 3 * a ^ 2 * b + 6 * b ^ 2 * a + 3 * b ^ 2 * c + 6 * a * b * c + 6 * b1 ^ 3 + 3 * a1 ^ 2 * b1 + 6 * b1 ^ 2 * a1 + 3 * b1 ^ 2 * c1 + 6 * a1 * b1 * c1 + 6 * b2 ^ 3 + 3 * a2 ^ 2 * b2 + 6 * b2 ^ 2 * a2 + 3 * b2 ^ 2 * c2 + 6 * a2 * b2 * c2 = 0 \\ 6 * b ^ 3 + 6 * a ^ 2 * c + 12 * b ^ 2 * a + 6 * b ^ 2 * c + 6 * b1 ^ 3 + 6 * a1 ^ 2 * c1 + 12 * b1 ^ 2 * a1 + 6 * b1 ^ 2 * c1 + 6 * b2 ^ 3 + 6 * a2 ^ 2 * c2 + 12 * b2 ^ 2 * a2 + 6 * b2 ^ 2 * c2 = 0 \\ 6 * b ^ 3 - 3 * a ^ 2 * b + 15 * b ^ 2 * a + 6 * b ^ 2 * c + 3 * c ^ 2 * a + 6 * b1 ^ 3 - 3 * a1 ^ 2 * b1 + 15 * b1 ^ 2 * a1 + 6 * b1 ^ 2 * c1 + 3 * c1 ^ 2 * a1 + 6 * b2 ^ 3 - 3 * a2 ^ 2 * b2 + 15 * b2 ^ 2 * a2 + 6 * b2 ^ 2 * c2 + 3 * c2 ^ 2 * a2 = 0 \\ 15 * b ^ 3 + 6 * a ^ 2 * b + 9 * b ^ 2 * a + 6 * b ^ 2 * c + 3 * c ^ 2 * b + 6 * a * b * c + 15 * b1 ^ 3 + 6 * a1 ^ 2 * b1 + 9 * b1 ^ 2 * a1 + 6 * b1 ^ 2 * c1 + 3 * c1 ^ 2 * b1 + 6 * a1 * b1 * c1 + 15 * b2 ^ 3 + 6 * a2 ^ 2 * b2 + 9 * b2 ^ 2 * a2 + 6 * b2 ^ 2 * c2 + 3 * c2 ^ 2 * b2 + 6 * a2 * b2 * c2 = 0 \\ 6 * a ^ 3 + 12 * b ^ 3 + c ^ 3 + 18 * b ^ 2 * a + 18 * b ^ 2 * c + 6 * a1 ^ 3 + 12 * b1 ^ 3 + c1 ^ 3 + 18 * b1 ^ 2 * a1 + 18 * b1 ^ 2 * c1 + 6 * a2 ^ 3 + 12 * b2 ^ 3 + c2 ^ 3 + 18 * b2 ^ 2 * a2 + 18 * b2 ^ 2 * c2 = 0 \)
He probado Wolfram Alpha y me da error por demasiados caracteres.
He hecho un programa en VBA y he sacado soluciones enteras para cada una de las ecuaciones por separado, para cada ecuación por separado hay infinitas soluciones, os paso un ejemplo de cada una para dejar una evidencia de que realmente tienen solución por separado.
\( 1ª \, ecuación: \, a= 1, b= 4, c=5, a1=6, b1=8, c1=9, a2=-5, b2=9, c2=-2\\2ª \, ecuación: \, a= 1, b= 2, c=3, a1=8, b1=10, c1=11, a2=12, b2=-9, c2=-25\\3ª \, ecuación: \, a= 1, b= 2, c=3, a1=4, b1=5, c1=6, a2=4, b2=-4, c2=5\\4ª \, ecuación: \, a= 1, b= 2, c=3, a1=4, b1=5, c1=6, a2=7, b2=-10, c2=13\\5ª \, ecuación: \, a= 1, b= 2, c=3, a1=4, b1=5, c1=6, a2=-6, b2=5, c2=-7\\6ª \, ecuación: \, a= 1, b= 2, c=3, a1=4, b1=7, c1=8, a2=-11, b2=7, c2=3\\7ª \, ecuación: \, a= 1, b= 2, c=3, a1=4, b1=5, c1=8, a2=-12, b2=-3, c2=-8\\8ª \, ecuación: \, a= 1, b= 2, c=3, a1=4, b1=5, c1=7, a2=-11 b2=2, c2=8\\ \) Gracias y saludos.
