Hola.
Para escribir en \( \LaTeX \) la función parte entera usa [tex]\lfloor[/tex] (l de left) para obtener \( \lfloor \) y usa [tex]\rfloor[/tex] (r de right) para obtener \( \rfloor \). Combinando ambas, escribiendo [tex]\lfloor x \rfloor[/tex] obtienes \( \lfloor x \rfloor \). Para el símbolo menor o igual puedes usar [tex]\le[/tex] obteniendo \( \le \).
En cuanto a tu ejercicio, observa que dado que \( x,y, \lfloor x \rfloor, \lfloor y \rfloor \ge 0 \) y dado que \( x \ge \lfloor x \rfloor \) e \( y \ge \lfloor y \rfloor, \) entonces multiplicando ambas inecuaciones obtienes que \( xy \ge \lfloor x \rfloor \lfloor y \rfloor \). Por otra parte, puesto que \( \left\lfloor \lfloor x \rfloor \right \rfloor = \lfloor x \rfloor \) entonces \( \lfloor xy \rfloor \ge \lfloor \lfloor x \rfloor \lfloor y \rfloor \rfloor = \lfloor x \rfloor \lfloor y \rfloor \). Otra manera de ver la inecuación \( xy \ge \lfloor x \rfloor \lfloor y \rfloor \) es observando que \( x = \lfloor x \rfloor + \{x\} \) e \( y = \lfloor y \rfloor + \{y\} \) y entonces \( xy =\lfloor x \rfloor \lfloor y \rfloor + \underbrace{\lfloor x \rfloor\{y\} + \lfloor y \rfloor \{x\} + \{x\}\{y\}}_{\ge 0} \implies xy \ge \lfloor x \rfloor \lfloor y \rfloor \). Y otra manera de concluir es ver que por definición de función entera, si \( xy \ge \lfloor x \rfloor \lfloor y \rfloor \) el entero mayor cercano a \( xy \) es precisamente \( \lfloor xy \rfloor \) y necesariamente se ha de tener que \( \lfloor xy \rfloor \ge \lfloor x \rfloor \lfloor y \rfloor \).
Saludos.
