[Galois123]

Hola amigos, tengo el siguiente problema: Sea \( x>1 \) un número entero impar. Sean \( a,b \) enteros tales que \( \gcd(x^2-1,a)=1 \) y \( \gcd(x+1,b)=1 \). Sea \( c \) el entero tal que \( ac\equiv 1 \pmod{x^2-1} \). Quiero demostrar que \( \gcd(x+1,c)=1 \). Ahora, como \( \gcd(x^2-1,a)=1 \), \( a \) debe ser impar. Por lo tanto, \( c \) debe ser impar. Pero creo que el hecho de que \( c \) sea impar no termina de mostrar que \( \gcd(x+1,c)=1 \).
Quería solicitarles algún consejo para concluir la demostración. Gracias.

[Masacroso]

Hola amigos, tengo el siguiente problema: Sea \( x>1 \) un número entero impar. Sean \( a,b \) enteros tales que \( \gcd(x^2-1,a)=1 \) y \( \gcd(x+1,b)=1 \). Sea \( c \) el entero tal que \( ac\equiv 1 \pmod{x^2-1} \). Quiero demostrar que \( \gcd(x+1,c)=1 \). Ahora, como \( \gcd(x^2-1,a)=1 \), \( a \) debe ser impar. Por lo tanto, \( c \) debe ser impar. Pero creo que el hecho de que \( c \) sea impar no termina de mostrar que \( \gcd(x+1,c)=1 \).
Quería solicitarles algún consejo para concluir la demostración. Gracias.

En principio ahí \( b \) no pinta nada, ni tampoco el dato \( \gcd(x+1,b)=1 \). Teorema (que quizá conozcas): \( \gcd(v,w) \) divide a \( r \) si y solo si existen \( k_1,k_2\in \mathbb{Z} \) tales que \( k_1v+k_2w=r \). De ese teorema y de la condición \( ac\equiv 1\bmod x^2-1 \) se sigue el resultado inmediatamente.

Corrección.

[feriva]

Hola amigos, tengo el siguiente problema: Sea \( x>1 \) un número entero impar. Sean \( a,b \) enteros tales que \( \gcd(x^2-1,a)=1 \) y \( \gcd(x+1,b)=1 \). Sea \( c \) el entero tal que \( ac\equiv 1 \pmod{x^2-1} \). Quiero demostrar que \( \gcd(x+1,c)=1 \). Ahora, como \( \gcd(x^2-1,a)=1 \), \( a \) debe ser impar. Por lo tanto, \( c \) debe ser impar. Pero creo que el hecho de que \( c \) sea impar no termina de mostrar que \( \gcd(x+1,c)=1 \).
Quería solicitarles algún consejo para concluir la demostración. Gracias.

Puedes verlo también así, si no me equivoco:

\( ac\equiv 1 \pmod{x^2-1}\Rightarrow{} \)

\( ac-1=k(x^{2}-1)
  \)

\( ac=k(x^{2}-1)+1
  \)

\( ac=k(x+1)(x-1)+1
  \)

\( ac-k(x+1)(x-1)=1
  \)

Si “c” tiene un factor común “t” con \( (x+1) \) ese factor “t” divide a los dos sumandos de la derecha,

\( a\dfrac{c}{t}-\dfrac{k(x+1)(x-1)}{t}=\dfrac{1}{t}
  \), y como el miembro de la derecha es entero, el único factor común“t” posible es 1; luego \( gcd(x+1,c)=1
  \).

Saludos.

[Galois123]

Gracias por las respuestas. Es cierto, metí bastante información innecesaria al problema. Con sus aportes me queda claro para donde ir. Muchas gracias.