[DoHITB]

Hola:

Llevo algún tiempo explorando la ecuación diofántica \( ax^2 + bx + c = n^2 \), es decir, dadas las constantes \( a, b, c \), encontrar los valores que puede obtener \( x \) para que la función \( f(x) = ax^2 + bx + c \) tenga como resultado un cuadrado perfecto.

Bien, haciendo pruebas con una Excel, encontré que \( y^2 + 2y + 1 = (y + 1)^2 \), supongo que es algo obvio, pero esto me llamó un poco la atención... así que se podría hacer el siguiente desarrollo:

\(
Si c Mod 2 \equiv 1
 \)

\(
c = 2y + 1;
 \)
\(
ax^2 + bx = y^2
 \)

\(
Si c Mod 2 \equiv 0
 \)

\(
c = 2y
 \)
\(
ax^2 + bx = y^2 + 1
 \)


Finalmente
\(
n^2 = (y + 1)^2
 \)

Esto nos daría un valor sobre el que calcular el valor de \( x \), tal que:

\(
Si c Mod 2 \equiv 1
 \)

\(
y = \dfrac{c - 1}{2};
 \)
\(
ax^2 + bx - (\dfrac{c - 1}{2})^2 = 0
 \)

\(
Si c Mod 2 \equiv 0
 \)
\(
y = \dfrac{c}{2}
 \)
\(
ax^2 + bx - (\dfrac{c}{2})^2 - 1 = 0
 \)


Y por tanto, se podría comprobar si esta ecuación tiene algún resultado válido en \( N \).
Evidentemente no es una solución general, pero creo que podría servir para resolver cierto rango de posibles valores de \( a, b, c \)... ¿qué opináis? ¿Tiene sentido? Supongo que es muy posible que esta aproximación ya se haya estudiado, pero me parecía curioso comentarlo con vosotros para saber vuestra opinión

Un saludo

[feriva]

Hola:

Llevo algún tiempo explorando la ecuación diofántica \( ax^2 + bx + c = n^2 \), es decir, dadas las constantes \( a, b, c \), encontrar los valores que puede obtener \( x \) para que la función \( f(x) = ax^2 + bx + c \) tenga como resultado un cuadrado perfecto.

Bien, haciendo pruebas con una Excel, encontré que \( y^2 + 2y + 1 = (y + 1)^2 \), supongo que es algo obvio

Claro, porque \( 1=1^{2}
  \) y si desarrollas por la distributiva,

\( (y+1)^{2}=(y+1)(y+1)=y^{2}+2y+1^{2}
  \).

Entonces, aquí, \( ax^{2}+bx+c=n^{2}
  \), puedes considerar que ocurran distintas cosas; cuando “a” es un cuadrado perfecto, entonces lo es \( ax^{2}
  \), y si además \( c=1
  \), entonces \( bx=2\cdot\sqrt{a}\cdot x
  \), o sea, cancelando, \( b=2\cdot\sqrt{a}
  \). También puedes considerar, por ejemplo, \( ax^{2}+bx+(c-1)+1=n^{2}
  \) suponiendo que “a” es un cuadrado... y así lo que se te ocurra.

Saludos.

[Richard R Richard]

Hola sí

\( ax^2+bx+c=n^2 \)

dividimos por a

\( x^2+\dfrac ba x+\dfrac ca =\dfrac{n^2}{a} \)

sumo y resto \( \dfrac{b^2}{4a^2} \)


\( x^2+\dfrac ba x+\dfrac{b^2}{4a^2}-\dfrac{b^2}{4a^2}+\dfrac ca =\dfrac{n^2}{a} \)

esto es igual a

\( \left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{b^2}{4a^2}+\dfrac ca =\dfrac{n^2}{a} \)


 pasando términos

\( \left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2=\dfrac{n^2}{a}+\dfrac{b^2}{4a^2}-\dfrac ca  \)


quedando luego\( x=-\dfrac{b}{2a}\pm\sqrt{\dfrac{n^2}{a}+\dfrac{b^2}{4a^2}-\dfrac ca} \)

 

mas chula queda

 
\( \boxed{x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2+4an^2-4ac}}{2a}} \)


esas serán las raíces de tu ecuación, este procedimiento es similar a la deducción de la ecuación cuadrática para polinomios de segundo grado(solo piensa que pasa si \( n=0 \)).

[Luis Fuentes]

Hola

Hola:

Llevo algún tiempo explorando la ecuación diofántica \( ax^2 + bx + c = n^2 \), es decir, dadas las constantes \( a, b, c \), encontrar los valores que puede obtener \( x \) para que la función \( f(x) = ax^2 + bx + c \) tenga como resultado un cuadrado perfecto.

Bien, haciendo pruebas con una Excel, encontré que \( y^2 + 2y + 1 = (y + 1)^2 \), supongo que es algo obvio, pero esto me llamó un poco la atención... así que se podría hacer el siguiente desarrollo:

\(
Si c Mod 2 \equiv 1
 \)

\(
c = 2y + 1;
 \)
\(
ax^2 + bx = y^2
 \)

\(
Si c Mod 2 \equiv 0
 \)

\(
c = 2y
 \)
\(
ax^2 + bx = y^2 + 1
 \)


Finalmente
\(
n^2 = (y + 1)^2
 \)

Esto nos daría un valor sobre el que calcular el valor de \( x \), tal que:

\(
Si c Mod 2 \equiv 1
 \)

\(
y = \dfrac{c - 1}{2};
 \)
\(
ax^2 + bx - (\dfrac{c - 1}{2})^2 = 0
 \)

\(
Si c Mod 2 \equiv 0
 \)
\(
y = \dfrac{c}{2}
 \)
\(
ax^2 + bx - (\dfrac{c}{2})^2 - 1 = 0
 \)


Y por tanto, se podría comprobar si esta ecuación tiene algún resultado válido en \( N \).
Evidentemente no es una solución general, pero creo que podría servir para resolver cierto rango de posibles valores de \( a, b, c \)... ¿qué opináis? ¿Tiene sentido? Supongo que es muy posible que esta aproximación ya se haya estudiado, pero me parecía curioso comentarlo con vosotros para saber vuestra opinión

No acabo de entender la idea. ¿Qué ganas con esa relación que impones entre \( c \) y \( n \)?. ¿Al final no tienes igualmente que analizar una ecuación de segundo grado? ¿Por qué no analizar la original aunque tenga una variable más?.

Saludos.

P.D. Aquí se discute este tipo de ecuaciones:

https://math.stackexchange.com/questions/1139749/can-we-predict-when-a-polynomial-can-take-more-than-one-perfect-square-value

Aquí puedes resolverlas explícitamente.

https://www.alpertron.com.ar/CUAD.HTM

En general permite resolver ecuaciones diofánticas cuadráticas:

\( ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0 \)

en tu caso \( b=e=0 \), \( c=-1 \).

[DoHITB]

Hola

No acabo de entender la idea. ¿Qué ganas con esa relación que impones entre \( c \) y \( n \)?. ¿Al final no tienes igualmente que analizar una ecuación de segundo grado? ¿Por qué no analizar la original aunque tenga una variable más?.

Saludos.

P.D. Aquí se discute este tipo de ecuaciones:

https://math.stackexchange.com/questions/1139749/can-we-predict-when-a-polynomial-can-take-more-than-one-perfect-square-value

Hola:

La idea es que, al asignar un valor plausible de solución para \( n^2 \), resolviendo una ecuación determinada se podría obtener (no en todos los casos, pero sí en un rango de casos) una solución a la ecuación.

Sobre tu enlace, la fórmula que aparece tiene pinta de acotar relativamente el rango de soluciones, me la guardo y exploraré esta vía a ver qué tal 

[Richard R Richard]

Veo ahora , que la idea principal es que si \( a,b,c \) y \( n \) pertenecen a los enteros y la idea es que \( x \) también sea entero. es Así?

como no conozco el criterio de elección de \( a,b,c \) y \( n \) ,de los infinitos que haya,   se me ocurre que para garantizar que \( x \) sea entero
hay que elegir \( c=n^2 \)  y \( b=k\cdot a \) es decir \( b \) es un múltiplo de \( a \) ,  donde luego \( x=-k \) o \( x=0 \)
Pero seguro hay soluciones que no necesariamente deben cumplir eso.