[jorgepm]

Hoy en clase me han mandado dos cuestiones en las que necesito ayuda;


. En la primera me piden que calcule las soluciones y esboce el plano de fases del sistema diferencial

\( x'=x \)

\( y'=y^2 \)


. En la segunda me dicen que \( f:R\to R \) es una función localmente lipschitziana con un nombre finito de ceros. En este caso
tengo que esbozar el plano de fases del sistema diferencial

\( x'=f(x) \)

\( y'=y \)

Corregido: \to en vez de ->.

[martiniano]

Hola.

En la primera me piden que calcule las soluciones y esboce el plano de fases del sistema diferencial

\( x'=x \)

\( y'=y^2 \)

Normalmente, el objetivo de este tipo de problemas es realizar el esbozo sin resolver el sistema. No obstante, en este caso me parece complicado dar una respuesta cualitativa, aunque sólo sea mínimamente aproximada.

Por otro lado, las ecuaciones son de variables separables en una variable, por lo que el sistema se resuelve cómodamente en:

ESTÁ MAL
\[ x=e^t+C_1 \]
\[ y=-2t^{-3}+C_2 \]

Donde \[ C_1,C_2 \] son constantes. Es decir, el plano de fases contiene todas las traslaciones de la curva que en paramétricas viene dada por:

\[ x=e^t \]
\[ y=-2t^{-3} \]

Fíjate en que tiene una asíntota vertical en \[ x=1 \] y otra horizontal en \[ y=0 \]. No veo cómo se puede averiguar esto sin resolver el sistema.


\[ x=e^{t+C_1} \]
\[ y=\displaystyle\frac{-1}{t+C_2} \]

Un saludo.

[Fernando Revilla]

En la primera me piden que calcule las soluciones y esboce el plano de fases del sistema diferencial \( x'=x \), \( y'=y^2 \)

Las ecuaciones \( x'=x \) e \( y'=y^2 \) son independientes, de variables separadas y de sencilla resolución. Para determinar el plano de fases puedes hallar una integral primera \( F(x,y) \) del sistema resolviendo la ecuación \( \displaystyle\frac{dy}{dx}=\displaystyle\frac{y^2}{x} \). Las curvas  de nivel de \( F \) son las órbitas del sistema salvo la que pasa por el único punto de equilibrio \( (0,0) \) que proporciona cuatro órbitas. No obstante, lo mejor en este caso va a ser estudiar el signo de las componentes del vector campo \( v(x,y)=(x,y^2) \). Obtendrás

                   

[martiniano]

Hola.

En la primera me piden que calcule las soluciones y esboce el plano de fases del sistema diferencial \( x'=x \), \( y'=y^2 \)

Las ecuaciones \( x'=x \) e \( y'=y^2 \) son independientes, de variables separadas y de sencilla resolución. Para determinar el plano de fases puedes hallar una integral primera \( F(x,y) \) del sistema resolviendo la ecuación \( \displaystyle\frac{dy}{dx}=\displaystyle\frac{y^2}{x} \). Las curvas  de nivel de \( F \) son las órbitas del sistema salvo la que pasa por el único punto de equilibrio \( (0,0) \) que proporciona cuatro órbitas. No obstante, lo mejor en este caso va a ser estudiar el signo de las componentes del vector campo \( v(x,y)=(x,y^2) \). Obtendrás

                   

Te ha quedado muy bonito. 

Saludos.

[Fernando Revilla]

Te ha quedado muy bonito. 

Para haberlo hecho a mano, no me ha quedado mal .

[Fernando Revilla]

He decidido redactar la solución completa: https://fernandorevilla.es/2021/11/29/plano-de-fases-de-xprimexyprimey2/.

[jorgepm]

Me ha quedado todo muy claro.

Muchas gracias