[Ricardo Boza]

Buenas tardes.

Tengo la superficie cilíndrica generada por una restricción en el dominio del folium de Descartes. La parametrización dada es: \[ {\bf x}\colon (-1,+\infty)\times \mathbb{R} \to \mathbb{R}^3\\ (u,v)\mapsto \left(\dfrac{3u}{1+u^3},\dfrac{3u^2}{1+u^3},v\right) \]

En los apuntes se dice que \[{\bf x} \] es una superficie simple (superficie parametrizada (diferenciabilidad (\[C^\infty\]) + regularidad (\[ \dfrac{\partial{\bf x}}{\partial u}\times \dfrac{\partial{\bf x}}{\partial v}\neq 0 \]) + inyectividad), y que "la imagen \[{\bf x}((-1,+\infty)\times\mathbb{R}) \] no es homeomorfa a un abierto del plano (¡aunque sí biyectiva!)".

Entendería la propiedad de la superficie (la no-propiedad) de no ser homeomorfa a un abierto del plano si no se estuviera restringiendo el dominio de la aplicación al conjunto \[ (-1,+\infty) \], sino que se tomara como dominio \[ \mathbb{R}\setminus\{-1\} \], pues en tal caso la imagen de la superficie estaría formada por dos componentes conexas, y por ser el número de componentes conexas un invariante topológico, ya lo tendríamos. ¿Por qué (si es que es cierto) la superficie tal como está considerada no es homeomorfa a un abierto del plano? La aplicación tal como viene dada se comenta que es biyectiva, pero he estado comprobándolo y solo es inyectiva. La sobreyectividad no se tiene, porque por ejemplo la primera componente de la aplicación tiene su rango restringido a \[ (-\infty,0) \], así que dicho rango no coincide con todo \[ \mathbb{R} \], que es lo que debería suceder si en efecto la imagen de la superficie fuera \[ \mathbb{R}^3  \] como se afirma que es. (Añado: ahora veo que dicen biyectiva con un abierto del plano, no que la aplicación tal como está definida sea biyectiva. No sé cómo probar dicha biyectividad. He visto que \[ (-\infty,0) \subset Im \left(\dfrac{3u}{1+u^3}\right),\quad (0,+\infty)\subset Im\left(\dfrac{3u^2}{1+u^3}\right),\quad \mathbb{R}\subset Im(v) \], estaba probando a unirlos y relacionar \[ \mathbb{R}\setminus\{0\}\times \mathbb{R} \], que tiene el mismo cardinal que \[ \mathbb{R}^2 \], pero no tengo una idea fundamentada en relación con esto último.

Código: [Seleccionar]

Show[ParametricPlot3D[{3 u/(1 + u^3), 3 u^2/(1 + u^3), v}, {u, -0.9, 30}, {v, -1, 1}, PlotPoints -> 100, AxesStyle -> {Red, Green, Blue}, PlotRange -> All, AspectRatio -> Automatic, ImageSize -> Large],
 ParametricPlot3D[{u, 0, 0}, {u, 0, 3}, PlotStyle -> {Red, Thickness[0.01]}],
 ParametricPlot3D[{0, u, 0}, {u, 0, 3}, PlotStyle -> {Green, Thickness[0.01]}],
 ParametricPlot3D[{0, 0, u}, {u, 0, 3}, PlotStyle -> {Blue, Thickness[0.01]}]]


Gracias.

[Masacroso]

La figura de la imagen no es homeomorfa a ningún plano por la parte marcada en azul justamente: fíjate que un entorno de lo azul es homeomorfo a la intersección de un plano y un semiplano no coincidentes. Una forma más directa de probarlo es que la parte en azul carece de inversa continua local, ya que aproximándonos a lo azul por diferentes curvas la imagen de tales curvas se aproxima a valores del plano bien diferentes. Es decir: aunque la parametrización es biyectiva su inversa no es continua.

Otra forma de verlo es que el bucle de la imagen es homeomorfo a un cilindro, y un cilindro nunca es homeomorfo a un plano. Básicamente la figura que tienes es la unión disjunta de dos superficies, una homeomorfa a un cilindro y otra homeomorfa a un abierto de un plano.

[Luis Fuentes]

Hola

 Fíjate que puedes pensarlo en dos dimensiones. La coordenada que da grosor a la curva es lo de menos.

 Si consideras la curva: \( \alpha:(-1,\infty)\to \Bbb R^2 \), \( \alpha(t)=\left(\dfrac{3t}{1+t^3},\dfrac{3t^2}{1+r^3}\right) \) verás que tiene está gráfica:



 La imagen, ese lazo rojo que ves, no es homeomorfa al intervalo \( (-1,\infty) \).

 Una forma de verlo: si tomas una sucesión de puntos en el lazo, en esa parte de arriba donde se ven los puntos en el dibujo, corresponden a imágenes \( \alpha(n) \). En \( (-1.\infty) \), n no converge. Pero en el lazo los puntos \( \alpha(n) \) convergen a \( \alpha(0) \).

Saludos.