[Zeta]

Hola a todos,

Tengo el siguiente problema:

Consideremos A una matriz simétrica de orden 3. Y sea \( f: \mathbb{S}^2(1) \rightarrow \mathbb{R} \) dada por \( f(p)=\langle p, Ap \rangle  \). Pruebe que \( p\in \mathbb{S}^2(1) \) es un punto crítico de \( f \) si y solo si \( p \) es un vector propio de A.

He calculado la diferencial y obtengo \( df_p(v)=2\langle p,Av \rangle  \). Cualquier ayuda es de agredecer.

Saludos.

[geómetracat]

Usando que \[ A \] es simétrica, \[ df_p(v)=2\langle p, Av \rangle = 2 \langle Ap, v \rangle \]. Luego \[ p \] es punto crítico si y solo si \[ \langle Ap, v \rangle = 0 \] para todo \[ v \in T_pS^2 \], si y solo si \[ Ap \in (T_pS^2)^\perp \]...

A ver si puedes concluir a partir de aquí.

[Zeta]

Hola,

Usando que \[ A \] es simétrica, \[ df_p(v)=2\langle p, Av \rangle = 2 \langle Ap, v \rangle \]. Luego \[ p \] es punto crítico si y solo si \[ \langle Ap, v \rangle = 0 \] para todo \[ v \in T_pS^2 \], si y solo si \[ Ap \in (T_pS^2)^\perp \]...

Lo único que se me ocurre es que como la dimensión \( (T_pS^2)^\perp \) es 1 y está generado por \( span\{N(p)\} \) ha de existir un \( \lambda \) tal que \( Ap=\lambda N(p) \).

[geómetracat]

Exacto, pero es que los vectores normal a la esfera en el punto \[ p \] son precisamente los de \[ span(p) \] (pensando ahora \[ p \] como vector). Luego tienes \[ Ap=\lambda p \] para algún \[ \lambda \].

[Zeta]

Exacto, pero es que los vectores normal a la esfera en el punto \[ p \] son precisamente los de \[ span(p) \] (pensando ahora \[ p \] como vector). Luego tienes \[ Ap=\lambda p \] para algún \[ \lambda \].

¡Muchas gracias!

Saludos