Hola
Observa el dibujo.
Los triángulos \( BCE \) y \( ABD \) son semejantes de donde:
\( \dfrac{x}{y}=\dfrac{4}{9}\quad \Rightarrow \quad y=\dfrac{9}{4}x \)
Además:
\( OA=9+x \)
\( AB=\sqrt{x^2+4^2} \)
\( BC=\sqrt{y^2+9^2}=\dfrac{9}{4}\sqrt{x^2+4^2} \)
\( CO=4-y \)
Por tanto la función a minimizar es:
\( f(x)=OA+AB+BC+CO=13-\dfrac{5}{4}x+\dfrac{13}{4}\sqrt{x^2+16} \)
Igualando la derivada a cero es fácil ver que el mínimo se alcanza para \( x=5/3 \).
Además:
\( tan(\theta)=4/x \).
\( tan(\theta/2)=\sqrt{\dfrac{1-cos(\theta)}{1+cos(\theta)}} \)
\( cos(\theta)=\dfrac{x}{\sqrt{x^2+4^2}} \)
Termina...
Saludos.
