P.D. De hecho para cualquier \( n \) natural uno siempre puede encontrar un número \( N \) tal que iterando \( n \) veces la función \( f^{n)}(N)>N \). Basta tomar \( N=2^n-1 \).
Si tienes razón en que basta con tomar un número natural \( n \) de ese tipo, pero parece que es una propiedad exclusiva de todo número \( 4k+3 \) puesto que:
\( \frac{3(4k+3)+1}{2} = 2n+1 \)
\( \frac{12k+10}{2} = 2n+1 \)
\( 6k+5 = 2n+1 \)
\( 3(2k)+2(2)+1 = 2n+1 \)
es decir que luego de 2 iteraciones calcula otro número impar mayor que \( 4k+3 \) mientras que:
\( \frac{3(4k+1)+1}{2} = 2n+1 \)
\( \frac{12k+4}{2} = 2n+1 \)
\( 6k+2 = 2n+1 \)
\( 3(2k)+2 = 2n+1 \)
que es absurdo y por eso requeriría más de 2 iteraciones para calcular otro número impar que sería menor a \( 4k+1 \).
Luego de cierta cantidad de iteraciones hay 3 patrones además del revisado \( 2^k -1 \). Por lo observado \( 2^k -1 \) con \( k \) impar calcula los mismos valores que \( 2^{k+1} -1 \), es decir que para alcanzar los valores de \( 2^{k+2} -1 \) tendría que multiplicarse por 4, algo que no permite el algoritmo, aparte que \( 2^{k+1} -1 \) siempre es múltiplo de 3 y como el algoritmo no permite calcular un múltiplo de 3 partiendo desde otro número impar, entonces es imposible.
La misma situación ocurre con los otros 3 patrones que involucran a los demás números impares pues sólo multiplican por 2, por 3 y por 8/3. Entonces, deduzco que el valor del tiempo de detención máximo de cada órbita estaría por debajo del valor del tiempo de detención máximo del \( 2^{k+1} -1 \) inmediato superior de cada número impar.
