Hola a todos,
Me interesa probar lo siguiente:
Sea \( f:\mathbb{R}\rightarrow{\mathbb{R}} \) una función continua que no tiene puntos periódicos, i.e , para toda \( x \) y para toda \( n\in{\mathbb{N}} \) se tiene que \( f^n(x) \neq x \). Donde \( f^n \) denota la composición de \( f \) con ella misma \( n \) veces. Entonces se tiene que \( \displaystyle\lim_{n \to{}\infty}{f^{n}(x)= \infty} \) o bien \( \displaystyle\lim_{n \to{}\infty}{f^{n}(x)= - \infty} \).
Lo que se me ocurrió es probar la contrapuesta, es decir, que si la sucesión de iteraciones no diverge a \( \infty \) o \( - \infty \) para al menos un punto \( x \) entonces existe al menos un punto periódico.
Si el rango de la sucesión de iteraciones \( (f^{n}(x)) \) es finito ya terminamos. Sino, entonces dado que la sucesión no diverge a \( \infty \) o \( - \infty \) se tiene que la sucesión es acotada. Por el teorema de Bolzano-Weirstrass la sucesión admite una subsucesión \( (f^{n_{k}}(x)) \) convergente. Esto lo hice debido a que si la sucesión de iteraciones de una función converge para al menos un punto entonces sabemos que dicho punto tiene que ser un punto fijo, y quise aplicarle esto a la subsucesión anterior.
Como ven el problema es que para ello debemos tener que \( f(f^{n_{k}}(x))=f^{n_{k+1}}(x) \) pero esto no es necesariamente cierto ya que no sabemos nada de los \( n_{k} \) excepto que son estrictamente crecientes.
¿Alguna sugerencia?
De antemano muchas gracias.
