[mg]

Hola,

Dado \( X\neq\emptyset \) y una medida exterior \( \mu^* \) sobre \( X \), se dice que un conjunto \( E\subseteq{X} \) es medible según Caratheodory si para todo \( A\subseteq X \) verifica que:
\( \mu^*(A)=\mu^*(A\cap E)+\mu^*(A\cap E^c) \)

(Teorema). En mis apuntes demuestran que si \( \mathcal{M} \) es la familia de conjuntos medibles según Caratheodory en X, entonces \( \emptyset\in \mathcal{M} \), si \( E\in \mathcal{M} \) entonces \( E^c\in\mathcal{M} \), y por último si \( E,F\in\mathcal{M} \) entonces \( E\cup F \in \mathcal{M} \).

Ahora bien, justo después de esto dice lo siguiente
Observación: Sea \( \mu^* \) una medida exterior sobre un conjunto \( X\neq\emptyset \). Si \( E\subseteq X \) es tal que \(  \mu^*(A)\geq{}\mu^*(A\cap E)+\mu^*(A\cap E^c) \) para todo \( A\subseteq X \), entonces \( E \) es medible en el sentido Caratheodory.



No sé de donde saca esa conclusión en la última afirmación. Si es de la demostración del teorema mencionado anteriormente, o bien un corolario de este, no se como hace. Espero que me puedan echar una mano.

Por cierto, ¿No se podría deducir por inducción del teorema A que M es un \( \sigma \)-álgebra?

Un saludo.

[geómetracat]

Ahora bien, justo después de esto dice lo siguiente
Observación: Sea \( \mu^* \) una medida exterior sobre un conjunto \( X\neq\emptyset \). Si \( E\subseteq X \) es tal que \(  \mu^*(A)\geq{}\mu^*(A\cap E)+\mu^*(A\cap E^c) \) para todo \( A\subseteq X \), entonces \( E \) es medible en el sentido Caratheodory.

No sé de donde saca esa conclusión en la última afirmación. Si es de la demostración del teorema mencionado anteriormente, o bien un corolario de este, no se como hace. Espero que me puedan echar una mano.

Como \[ A = (A \cap E) \cup (A \cap E^c) \], de la definición de medida exterior se tiene siempre la desigualdad \[ \mu^*(A) \leq \mu^*(A \cap E) + \mu^*(A \cap E^c) \]. Por tanto para ver que \[ E \] es medible basta con probar la otra desigualdad.
 

Por cierto, ¿No se podría deducir por inducción del teorema A que M es un \( \sigma \)-álgebra?

El teorema demuestra que \[ M \] es una álgebra (es decir, \[ \emptyset \in M \], complementos de conjuntos en \[ M \] están en \[ M \], y uniones finitas de conjuntos de \[ M \] están en \[ M \]). Para probar que es una \[ \sigma \]-álgebra falta ver que uniones numerables de conjuntos en \[ M \] están en \[ M \], que necesita algún argumento extra (no se sigue por inducción del teorema).

[mg]

Ahora bien, justo después de esto dice lo siguiente
Observación: Sea \( \mu^* \) una medida exterior sobre un conjunto \( X\neq\emptyset \). Si \( E\subseteq X \) es tal que \(  \mu^*(A)\geq{}\mu^*(A\cap E)+\mu^*(A\cap E^c) \) para todo \( A\subseteq X \), entonces \( E \) es medible en el sentido Caratheodory.

No sé de donde saca esa conclusión en la última afirmación. Si es de la demostración del teorema mencionado anteriormente, o bien un corolario de este, no se como hace. Espero que me puedan echar una mano.

Como \[ A = (A \cap E) \cup (A \cap E^c) \], de la definición de medida exterior se tiene siempre la desigualdad \[ \mu^*(A) \leq \mu^*(A \cap E) + \mu^*(A \cap E^c) \]. Por tanto para ver que \[ E \] es medible basta con probar la otra desigualdad.
 

Por cierto, ¿No se podría deducir por inducción del teorema A que M es un \( \sigma \)-álgebra?

El teorema demuestra que \[ M \] es una álgebra (es decir, \[ \emptyset \in M \], complementos de conjuntos en \[ M \] están en \[ M \], y uniones finitas de conjuntos de \[ M \] están en \[ M \]). Para probar que es una \[ \sigma \]-álgebra falta ver que uniones numerables de conjuntos en \[ M \] están en \[ M \], que necesita algún argumento extra (no se sigue por inducción del teorema).

Muchisímas gracias geómetracat, me has ayudado un montón.

Un saludo!