[ds]

Hola buen dìa!

Me podrían ayudar a resolver el siguiente problema? Por favor!

Demuestra que si

\( mcd(a, b) = 1 \Rightarrow{mcd(a + 2b, 2a + b) = 1  \vee 3} \)

Gracias!

[Juan Pablo Sancho]

Sea \( d = mcd(a+2b,2a+b)  \) entonces:
\( d|2a+b - 2\cdot(a+2b)  \)
\( d|a+2b - 2 \cdot (2a+b)  \)

[dycm]

Sea \( d=mcd(a+2b,2a+b) \).
Si \( d=1 \) no hay nada que probar.
Si \( d>1 \) entonces existe un número primo \( p \) de modo que \( p|d \).
Con ello \( p|(a+2b) \) y \( p|(2a+b) \).
Luego \( p|((a+2b)+(2a+b)) \), esto es, \( p|(3a+3b) \).
Supongamos que \( p \) divida a \( 3a \) y a \( 3b \). Entonces:
    * \( p|(3a) \) si y sólo si \( p|3 \) y \( p|a \).
    * \( p|(3b) \) si y sólo si \( p|3 \) y \( p|b \).
Como \( mcd(a,b)=1 \) entonces \( p \) no puede dividir a \( a \) y \( b \) simultáneamente. La única opción que queda es que \( p|3 \)
Por ende, \( mcd(a+2b,2a+b)=1 \) o \( 3 \).

[Juan Pablo Sancho]

Toma \( a = 3  \) y \(  b = 5  \) tenemos \( mcd(a,b) = 1 \) si \( p|3(a+b) \) tendríamos que \( p  \) podría pertencer a \(  \{1,2,3,4,6,8,12,24\}  \) sin contar con los divisores negativos.

[dycm]

Toma \( a = 3  \) y \(  b = 5  \) tenemos \( mcd(a,b) = 1 \) si \( p|3(a+b) \) tendríamos que \( p  \) podría pertencer a \(  \{1,2,3,4,6,8,12,24\}  \) sin contar con los divisores negativos.

Creo que ya lo corregí 

[homohabilis]

Luego \( p|((a+2b)+(2a+b)) \), esto es, \( p|(3a+3b) \).
Supongamos que \( p \) divida a \( 3a \) y a \( 3b \).

 \( p|(3a+3b) \) no implica \( p|3a \) ni \( p|3b \).

Por ejemplo \( 10|3(4+6) =30 \) pero \( 10 \) no divide a \( 12 \) ni a \( 18 \).

La demostración podría seguir así:

De \( p|3a+3b=3(a+b) \) se tiene \( p=1,3 \) o bien \( p|a+b \). Si es el primer caso, fin de la demostración. En el otro caso, \( p|a+b \) unido a \( p|a+2b \) implica \( p|a+2b-(a+b)=b \). Y de la misma forma obtendríamos que \( p|a \).

Dado que \( (a,b)=1 \) esto no puede ser. Luego \( p=1,3 \)

Pero todavía hay un último detalle: podría ser que \( 3^2 \) (u otra potencia) dividiera a \( 3a+3b \). Este caso se descarta porque todavía \( 3|a+b \) y entonces, como antes, \( 3|(a,b) \).

[feriva]

Aquí otra.

EDITADO

\( mcd(a,b)=1\Rightarrow{mcd(a+2b,\,2a+b)=1\vee3}
  \)

El mcd tiene que dividr a la suma; sacando facto3 común:

\( 2(a+b)+(a+b)=(a+b)(2+1)=(a+b)\cdot3
  \)

Luego 3 un mcd posible es 3.

Para comprobar que el otro sólo puede ser 1:

Suponemos un factor mcd=k distinto de 3.

\( a+2b=kc
  \)

\( 2a+b=ke
  \)

Si sumando las ecuaciones

\( 3a+3b=k(c+e)
  \)

Si k no es múltiplo de 3, entonces lo tiene que ser c+e, de donde podemos hacer e=3t-c

\( 3a+3b=k(c+3t-c)
  \)

\( 3a+3b=3kt
  \)

\( a+b=kt
  \)

Volviendo arriba

\( a+b+b=kc
  \)

\( a+a+b=ke
  \)

\( kt+b=kc
  \)

\( kt+a=ke
  \)

de donde mcd(a,b)=k

Luego k=1