[nati]

Hola,
 
tengo que resolver el siguiente ejercicio:

1) Considerando una circunferencia de centro O y radio r, y un cuadrilátero convexo ABCD inscripto en ella.
A) ¿que relación existe entre los ángulos internos de un cuadrilátero?
B) ¿la relación encontrada es condición necesaria y suficiente para que un cuadrilátero sea inscriptible? Justifique.

2) Demuestre que el único trapecio inscriptible es el isosceles.

Si pueden denme una ayudita.

Gracias

[aladan]

Hola nati
1.-
A.- Los ángulos opuestos tienen que sumar 180º
B.- A es condición necesaria, tengo que pensar un poco más si es además suficiente.
2.- Solamente el trapecio isosceles cumple A
Saludos

[EnRlquE]

Hola.

 1.B. La condición mencionada por aladan es suficiente, pues si suponemos, por contradicción, que existe un cuadrilátero convexo \( ABCD \) tal que la suma de sus ángulos opuestos sea \( 180^{\circ} \), pero que no sea inscriptible.

 (Por hipótesis tenemos que \( m\angle ADC=180^{\circ}-m\angle ABC \))

 Por los puntos \( A,B \) y \( C \) pasa una circunferencia, llamémosla \( \cal{C} \), y \( D\not\in{\cal C} \), tenemos dos casos

 (1) \( D \) esta en el "interior" de \( {\cal{C}} \).

 (2) \( D \) esta en el "exterior" de \( {\cal{C}} \).

 Veamos el segundo caso (el otro es totalmente análogo), este caso esta representado en la siguiente figura

 dónde hemos trazado \( \overline{CE} \) con \( E\in{\cal{C}}\cap\overline{AD} \) (observar que \( E\neq D \) y además que \( m\angle ADC<m\angle AEC \)), luego como el cuadrilátero \( ABCE \) es inscriptible ocurre que

\( m\angle AEC=180^{\circ}-m\angle ABC=m\angle ADC\Longrightarrow m\angle AEC=m\angle ADC \)

 Pero esto es absurdo, luego nuestro supuesto es falso y se prueba la suficiencia de la condición dada en A.

 2. Lo anterior y las indicaciones dadas por aladan, responden esta pregunta.

Saludos.

[nati]

Ahí va, gracias 
Pero en realidad no me quedo claro como demostrar que los ángulos opuestos suman 180º

[EnRlquE]

Hola.

 Veamos, para no gastar otro dibujo, considera el cuadrilátro inscriptible \( ABCE \) como en el problema anterior (consideralo como un cuadrilátero inscriptible cualquiera e independiente de lo que se probó antes).

 Observa que la suma de las medidas de los árcos \( ABC \) y \( AEC \) es \( 360^{\circ} \), también

\( m\angle AEC=\dfrac{m\;arco\;ABC}{2} \)   y   \( m\angle ABC=\dfrac{m\;arco\;AEC}{2} \)

 Luego sumando las anteriores igualdades y considerando la observación inicial se obtiene que

\( m\angle AEC+m\angle ABC=\dfrac{m\;arco\;ABC}{2}+\dfrac{m\;arco\;AEC}{2}=180^{\circ} \)

 Si te quedan dudas, pregunta.

Saludos.

[nati]

Ahí va, gracias  . No sabia que los ángulos inscriptos median la mitad del arco comprendido entre sus lados  , ahora si entiendo. Igual me queda la duda de como mostrarlo sin saber que existe esa propiedad, o cómo mostrar esa propiedad...

Y otro punto, si ABCD es un cuadrilátero con un par de lados opuestos iguales y un par de ángulos opuestos suplementarios, como demuestro que ABCD es un trapecio isosceles?

Muchas gracias

[aladan]

Hola
El ángulo BAC está inscrito en la circunferencia de centro O, trazamos el diametro AD y los radios OB y OC, nuestro inscrito ocupa el mismo arco que el central BOC. Por construción

                                            \( \hat{BAC}=\hat{BAD}+\hat{DAC} \)  (1)

                                            \( \hat{BOC}=\hat{BOD}+\hat{DOC} \)  (2)

los triángulos AOB y AOC son isosceles y comparando ángulos, tenemos

                                            \( \pi -\hat{AOB}=\hat{BOD}=2\hat{BAD}\Longrightarrow{\hat{BAD}=\displaystyle\frac{\hat{BOD}}{2}} \)  (3)
 
                   \( \pi -\hat{AOC}=\hat{DOC}=2\hat{DAC}\Longrightarrow{\hat{DAC}=\displaystyle\frac{\hat{DOC}}{2}} \)  (4)

Sustituyes (3) y (4) en (1) y tienes probado que

                                                   \( \hat{BAC}=\displaystyle\frac{\hat{BOC}}{2} \)
Saludos
 
                                               

[aladan]

Y otro punto, si ABCD es un cuadrilátero con un par de lados opuestos iguales y un par de ángulos opuestos suplementarios, como demuestro que ABCD es un trapecio isosceles?

Muchas gracias

DE ninguna manera, con esas condiciones ese cuadrilatero puede ser un trapecio isosceles, un rectángulo, un cuadrado.., otra cuestión es partir de que ABCD es un trapecio, con las otras condiciones, exclusivamente será un trapecio isosceles.
Saludos