[mg]

Hola,

La función que me tiene atascado es la siguiente:


\( g_n(x)=\begin{cases} \displaystyle\frac{1}{n}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \text{       si } x\in{}(\mathbb{R}\setminus \mathbb{Q})\cup{\left\{0\right\}}\\ b+\displaystyle\frac{1}{n}\;\;\; \text{          si } x=\displaystyle\frac{a}{b}, a\in{\mathbb{Z}},b\in{}\mathbb{Z}^{+}\end{cases} \)

Es claro que g converge puntualmente en todo \( \mathbb{R} \) a

\( g=\begin{cases} 0\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \text{       si } x\in{}(\mathbb{R}\setminus \mathbb{Q})\cup{\left\{0\right\}}\\ b\;\;\; \text{          si } x=\displaystyle\frac{a}{b}, a\in{\mathbb{Z}},b\in{}\mathbb{Z}^{+}\end{cases} \)

No se muy bien como estudiar su convergencia uniforme, es decir, me planteo lo siguiente:

\( \left |{g_n-g}\right | \) Supongo que debo considerar primero la sucesión de funciones de g si \( x\in{}(\mathbb{R}\setminus \mathbb{Q})\cup{\left\{0\right\}} \) y luego si \( x=\displaystyle\frac{a}{b} \) no?

[Ricardo Boza]

Hola,

Yo diría que las \( g_n \) no son funciones porque el cero tiene dos imágenes. Eso habría que arreglarlo.

Por otro lado, has visto la convergencia puntual.

Si tienes la definición de convergencia uniforme con los \( \varepsilon \), puedes comprobar en ambos casos que \( |g(x)-g_n(x)|=|g-g_n|\), es decir, que dicha expresión no depende del valor de \(x\). Basta tomar \(n>\dfrac{1}{\varepsilon}\) para que en todo \(\mathbb{R}\) la convergencia sea uniforme a \(g\).

[mg]

Hola,

No veo lo de que el 0 tenga dos imágenes.

Por otro lado hice lo siguiente que creo correcto suponer pero si me lo confirman me quedo mas tranquilo.
Supongamos que \( x\in{}(\mathbb{R}\setminus \mathbb{Q})\cup{\left\{{0}\right\}} \) entonces,
\( \left |{g_n(x)-g}\right |=\displaystyle\frac{1}{n} \), que se puede hacer arbitrariamente pequeño.

Si \( x=\displaystyle\frac{a}{b},a\in{\mathbb{Z}},b\in{}\mathbb{Z}^+ \) entonces,
\( \left |{g_n(x)-g}\right |=\left |{b+\displaystyle\frac{1}{n}-b}\right |=\displaystyle\frac{1}{n} \) que tb se puede hacer arbitrariamente pequeño. Por tanto la sucesión \( g_n \) es unif. convergente.