[nktclau]

Hola chicos!! necesito ayuda con el siguiente ejercicio.  Estoy leyendo un libro el cual cita un ejemplo, a muy poco de ver continuidad de funciones, en el cual plantea lo siguiente.

Siendo \( f \) y  \( g \) funciones continuas en \( x_0 \in{\mathbb{R}} \) Probar que \( \max(f,g) \) es continua en \( x_0 \)

Luego comienza con la solución diciendo

Primero observe que:  \( \max(f,g)=\displaystyle\frac{1}{2}(f+g)+\displaystyle\frac{1}{2}|f-g| \)

Duda 01: ¿Qué es \( \max(f,g) \)? Es el máximo de ambas funciones a la vez, es el máximo del conjunto formado por esas dos funciones? . He buscado más y lo que el libro aclara es que \( max(f, g)(x) =\max{f(x), g(x)} \) y que \( ; \min(f, g)(x) =\min{f(x), g(x)} \) nada más pero no se que es??   

Continua el libro....

Lo que muestra que la función \( \max(f, g) \) es una combinación de funciones a los que se aplican los teoremas de continuidad.

Esta ecuación se cumple porque \( \max\{a, b\}=\displaystyle\frac{1}{2}(a+b)+\displaystyle\frac{1}{2}|a-b| \) lo que es verdadero  \( \forall{}a, b \in{\mathbb{R}} \), un hecho que se verifica fácilmente considerando los casos \( a ≥ b \) y \( a <b \).
No lo comprendo!

Por teorema 1, \( f + g \) y \( f - g \) son continuas en \( x_0 \).

Por lo tanto \( | f - g | \) es continua en \( x_0 \)

y según el teorema que dice Sea \( f \) una función real con dominio \( dom(f) ⊆ R \). Si \( f \) es continua en \( x_0 \) en \( dom(f) \), entonces \( |f| \) y  \( kf \), \( k ∈ R \), son continuas en \( x_0 \).

Entonces \( \displaystyle\frac{1}{2}(f+g)+\displaystyle\frac{1}{2}|f-g| \) son continuas en  \( x_0 \) por el teorema anterior, y otra aplicación del teorema 1
Sean \( f \) y \( g \) dos funciones continuas en \( x_0 \) con \( x_0\in{\mathbb{R}} \).
Then
             (i) \( f + g \) es continua en \( x_0 \)
            (ii) \(  fg \) es continua en \( x_0 \);
           (iii) \( f/g \) es continua en \( x_0 \) si \( g(x_0)\neq 0 \)

muestra que \( \max(f, g) \) es continua en \( x_0 \)

Deja muchas cosas "colgadas" por eso no comprendo, entendiendo este ejercicio debo mostrar esto:

Sea \( f:\mathbb{R}\longrightarrow{\mathbb{R}} \) y \( g:\mathbb{R}\longrightarrow{\mathbb{R}} \) ambas funciones continuas, donde definimos la nueva función

 \( \min(f,g):\mathbb{R\rightarrow{\mathbb{R}}} \), \( x\longrightarrow{\{f(x),g(x)\}} \)

Probar que \( \min(f,g) \) es continuo

Ayuda: Pruebe primeramente que \( \min(f,g)(x)=\displaystyle\frac{1}{2}\left[ f(x)-|f(x)-g(x)|+g(x)\right] \)

Pero claro al no entender lo de arriba no sé ni  por donde arrancar con este.

Gracias!!

[Masacroso]

La definición del máximo de dos funciones es \( \max\{f,g\}(x):=\max\{f(x),g(x)\} \), es decir, que para cada \( x \) se toma el máximo entre \( f(x) \) y \( g(x) \). Ahora, comprueba que dados dos números reales \( a,b \) cualesquiera se cumple que \( \max\{a,b\}=\frac12(a+b+|a-b|) \). Con esos dos datos probablemente ya puedas resolver el ejercicio.

[delmar]

Hola nktclau

Entiendo tu desconcierto, han elegido un camino un poco complicado.

Para que el enunciado tenga sentido se han de tener dos funciones f y g con un dominio común, el cuál ha de ser un intervalo I tal que \( x_0\in{I} \) y ambas son continuas en \( x_0 \). En esas circunstancias (conveniente es hacer un esquema) \( max(f,g) \) es también una función tal que \( \forall{x}\in{I}, \ max(f,g)(x)=max \left\{{f(x),g(x)}\right\} \), es decir es una función cuyo dominio es I, lo que hay que demostrar es que esta función es continua en \( x_0 \)

Respecto al teorema auxiliar :

\( \forall{a,b}\in{R}\Rightarrow{max(a,b)=\displaystyle\frac{1}{2}(a+b)+\displaystyle\frac{1}{2}\left |{a-b}\right |} \)

Sencillamente se trata de demostrar que es cierto para las 2 alternativas que existe :

A) \( a\geq{b} \)   B) \( a<b \)

Te ayudo con la alternativa B)

\( max(a,b)=b \) Ec. 1

\( \displaystyle\frac{1}{2}(a+b)+\displaystyle\frac{1}{2}(\left |{a-b}\right |)=\displaystyle\frac{1}{2}(a+b)+\displaystyle\frac{1}{2}(b-a)=b \) Ec. 2

Por lo tanto, considerando los resultados de ambas ecuaciones se demuestra el teorema.

Verifica para la alternativa A) y queda confirmado.

Te muestro otra forma de demostrar el teorema principal.


Supongamos que \( g(x_0)>f(x_0) \) por ser g,f continuas en \( x_0 \) la diferencia también es continua, en consecuencia \( h(x)=g(x)-f(x) \) es continua en \( x_0 \), se tiene \( h(x_0)=g(x_0)-f(x_0)>0 \), por el teorema de conservación de signo \( \exists{\delta}>0, \ / \ si \ \left |{x-x_0}\right |<\delta, \ \Rightarrow{h(x)>0}\Rightarrow{g(x)>f(x)} \) en otras palabras existe un entorno abierto de radio \( \delta>0 \) centrado en \( x_0 \), el cual se simboliza por \( N(x_0,\delta) \), tal que \( g(x)>f(x) \) para todo x que pertenece al entorno. En esas condiciones, es decir en ese entorno \( max(f,g)(x)=g(x), \ \forall{x}\in{N(x_0,\delta)} \), por ser g en ese entorno continua en \( x_0 \) obviamente\( max(f,g) \) será continua tambien en \( x_0 \)

En caso \( f(x_0)>g(x_0) \) simplemente se renombra y pues queda demostrado también

El caso \( f(x_0)=g(x_0) \) se demuestra haciendo un pequeño análisis complementario.


Saludos

[nktclau]

MUCHISIMAS GRACIAS Delmar!!! y Masacroso por la gran ayuda aportada