[Pie]

\( \displaystyle\int\sqrt[ ]{1 - x^2} dx \)


Buenas. Se que \( \displaystyle\int_{0}^{1}\sqrt[ ]{1 - x^2} dx  \) debería ser \(  \displaystyle\frac{\pi}{4} \) por ser el área bajo la curva de un cuarto de circunferencia (de radio 1), pero no tengo ni idea de cómo calcular la indefinida.

PD. Aclaro que sólo sé calcular integrales muy simples (polinomios sencillos, etc..) así que casi que agradecería una explicación en plan barrio sésamo XD

Saludos.

[Luis Fuentes]

Hola

\( \displaystyle\int\sqrt[ ]{1 - x^2} dx \)


Buenas. Se que \( \displaystyle\int_{0}^{1}\sqrt[ ]{1 - x^2} dx  \) debería ser \(  \displaystyle\frac{\pi}{4} \) por ser el área bajo la curva de un cuarto de circunferencia (de radio 1), pero no tengo ni idea de cómo calcular la indefinida.

Sabes usar el Teorema de Cambio de Variable. La idea sería hacer \( x=sin(t) \). Después usar que:

\( cos^2(t)=\dfrac{1+cos(2t)}{2} \)

Saludos.

[Fernando Revilla]

Otra forma de calcular la indefinida es aplicar integracion por partes: Dos integrales por partes (apartado \( (a) \)).

[Pie]

Ok, gracias Luis y Fernando. Miraré a ver si lo saco con lo que me habéis dicho, si no volveré XD..

Sobre el cambio de variable algo he leído, pero tengo muy poca práctica. Creo que practicaré un poco más con el khan academy antes de ponerme con esta hehe

Saludos.

[feriva]

...así que casi que agradecería una explicación en plan barrio sésamo XD

Saludos.

Pues casi mejor que viniera el monstruo de las galletas, que sabe seguro más que yo de análisis; pero lo intento y a ver si no meto la pata:
Ya la he metido, se me ha olvidado un cuadrado en el coseno

Spoiler

Ese cambio de variable está basado en la identidad trigonométrica famosa:

\( sen^{2}(x)+cos^{2}(x)=1
  \); y despejando \( sen^{2}(x)=1-cos^{2}(x)
  \) (o escrito lo mismo de otra manera quizá más “visual”: \( (sen\, x)^{2}=1-(cos\, x)^{2}
  \)).

Aquí a continuación seguía un desastre, después de comer lo arreglo

[cerrar]

Aquí está bien ya todo, si no se me ha ido la cabeza otra vez.

Ese cambio de variable está basado en la identidad trigonométrica famosa (lo pongo usando "t", mejor)

\( sen^{2}(t)+cos^{2}(t)=1
  \); y despejando \( sen^{2}(t)=1-cos^{2}(t)
  \) (o escrito lo mismo de otra manera quizá más “visual”: \( (sen\, t)^{2}=1-(cos\, t)^{2}
  \)). \( sen(t)=\sqrt{1-(cos\, t)^{2}}
  \))

Entonces, si en esa expresion hacemos el cambio \( x=sen(t)
  \), tenemos \( x=\sqrt{1-(cos\, t)^{2}}
  \), \( x^{2}=1-(cos\, t)^{2}
  \).

Y la expresión f(x) dentro de la integral raíz es \( 1-x^{2}={\displaystyle 1-(1-cos^{2}(t))=cos^{2}(t)}
  \).

Igualamos las derivadas en función de las dos variables

\( (x)'=(\sqrt{1-(cos\, t)^{2}})'
  \)

o sea, ya visto eso ponemos el seno, que es más corto

\( (x)'=(sen(t))'
  \)

Las derivadas, escritas en función de sus diferenciales “d”, son \( \dfrac{d(f(x))}{dx}=\dfrac{d(sen(t))}{dt}
  \); y aquí existe una indeterminación del tipo \( \dfrac{0}{0}
  \), que es el límite que se resuelve al operar la derivada. Pero como las dos expresiones son lo mismo escritas de otra manera, podemos hacer esto:

\( \dfrac{d(f(x))}{dx}dx=\dfrac{d(sen(t))}{dt}dt
  \)

*(porque el límite d(a)/d(a) cuando d(a) -valga lo que valga “a”- tiende a cero, es 1 y el límite de un producto es el producto de los límites: y esa igualdad es cierta porque las expresiones que quedan dentro de los “d” son las mismas escritas de otra forma).

Y esto es lo que se va usar para sustituir en la integral, es decir, escribiendo las derivadas con “primas”:

\( (x)'\cdot dx=(t)'\cdot dt
  \)

\( (x)'\cdot dx=(sen(t))'\cdot dt
  \)

\( dx=(sen\, t)'\cdot dt
  \)

Siempre vamos a tener la derivada de “x” (o si hemos hecho otro cambio, se despeja y se busca la expresión de “x” en función de “t”) y esa derivada es 1; y entonces nos va a quedar siempre d(x) en función de “t” y “dt”; para sustituir ya en la integral.

Entonces \( dx=(cos\, t)\cdot dt
  \).

Ahora ya la sustitución en la integral

\( x=sen(t)=\sqrt{1-(cos\, t)^{2}}
  \), \( x^{2}=sen^{2}(t)=1-(cos\, t)^{2}
  \):

\( {\displaystyle \int\sqrt{1-x^{2}}dx=\int\sqrt{1-sen^{2}(t)}\cdot dx=}
  \)

\( {\displaystyle \int\sqrt{cos^{2}t}\cdot dx}={\displaystyle \int\sqrt{cos^{2}t}\cdot dx=}
  \)

\( {\displaystyle \int\sqrt{cos^{2}t}\cdot cos(t)dt}{\displaystyle ={\displaystyle \int(cos^{2}t)dt}}
  \)

Y ahora tenemos la identidad

\( cos(2t)=cos^{2}t-sen^{2}t
  \)

\( cos(2t)=cos^{2}t-(1-cos^{2}t)=
  \)

\( cos(2t)=2cos^{2}t-1
  \)

\( cos^{2}t=\dfrac{1+cos(2t)}{2}
  \)

Entonces

\( {\displaystyle \int\sqrt{cos^{2}t}\cdot cos(t)dt}{\displaystyle ={\displaystyle \dfrac{1}{2}\int(1+cos(2t))dt}}
  \).

Y ahí te salen dos integrales que puedes sumar.

La integral de cos de 2t también la puedes hacer con un cambio de variable; simplemente si la integral del coseno es el seno, te quedará 1/2 del seno de (2t).

Saludos.