[mileto]

Considere \( t>0 \), se define la siguiente función:

\(   F(x) =\displaystyle \int_{0}^{x}  x\sqrt{\sin^{2}  (x+t)} dt  \)

Calcular \( F'(x) \)

[Luis Fuentes]

Hola

 Bienvenido al foro.

 Recuerda leer y seguir  las reglas del mismo así como el tutorial del LaTeX para escribir las fórmulas matemáticas correctamente.

 Por esta vez te hemos corregido las fórmulas desde la administración.

Considere \( t>0 \), se define la siguiente función:

\(   F(x) =\displaystyle \int_{0}^{x}  x\sqrt{\sin^{2}  (x+t)} dt  \)

Calcular \( F'(x) \)

 ¿Cuál es la duda?. ¡Es aplicación directa del Teoream Fundamental del Cálculo Integral!.

https://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_fundamental_del_c%C3%A1lculo#Primer_teorema_fundamental_del_c%C3%A1lculo

Saludos.

[mileto]

¿Cómo aplicarlo directamente, ya que no creo que sea \(  F'(x) = x \sqrt{\sin^2 (2x)}  \)

[Luis Fuentes]

Hola

¿Cómo aplicarlo directamente, ya que no creo que sea \(  F'(x) = x \sqrt{\sin^2 (2x)}  \)

Ah; no me había fijado bien, perdona. Tienes que usar la regla de Leibiniz. Tienes:

\( F(x,t)=\displaystyle\int_{0}^{x}f(x,t)dt \)   con \( f(x,t)=x\sqrt{sin^2(x+t)} \)

Entonces:

\( \dfrac{\partial F}{\partial t}(x,t)=\displaystyle\int_{0}^{x}\dfrac{\partial f}{\partial x}(x,t)dt+f(x,x) \)

Por cierto, en tu caso:

\( f(x,t)=x\sqrt{sin^2(x+t)}=x|sin(x+t)| \)

Comienza trabajando en un intervalo donde \( sin(x+t)>0 \).

Saludos.

[Fernando Revilla]

También te puede ser útil la fórmula general \[ F(x)=\int_{a(x)}^{b(x)}f(t,x)\;dt\Rightarrow F^\prime (x)=\int_{a(x)}^{b(x)}\frac{\partial f}{\partial x}dt+f[b(x),x]b^\prime (x)-f[a(x),x]a^\prime (x) \], cuyas hipótesis de aplicación puedes verlas en Derivación de integrales dependientes de un parámetro (teorema 11).