Hola
Entiendo que te estás centrando en estas definiciones:
\( E=\displaystyle\int_{0}^{1}f(x)dx \)
\( C=\dfrac{1}{b-a}\displaystyle\int_{a}^{b}f'(x)dx, \) con \( f'(a)=f'(b)=1 \) con \( f'(x)<1 \) para \( x\in(a,b). \)
En ese caso, esto está bien:
Para ver la relación que hay entre elevación \( E \) y curvatura \( C \) no puedo deducir algo de la igualdad
\( \displaystyle\int_{0}^{1}f(x)dx=\int_{0}^{1}(1-x)f'(x)dx, \) creo que
\( \displaystyle\int_{a}^{b}xf'(x)dx\geq{}(b-a)C-E. \)
Lo que pasa es que no si es una cota útil. Depende de este valor \( \displaystyle\int_{a}^{b}xf'(x)dx \) que es un valor más difícil de calcular que la propia curvatura, tal como la has definido.
También por el teorema del valor medio
\( C=f'(c) \) para \( c\in(a,b) \) y por el mismo teorema, \( f(d)=\displaystyle\int_{0}^{1}f(x)dx=E \) para un \( d\in(0,1). \)
Me interesa analizar el signo de \( f(d)-f'(c). \)
En este caso, perdemos el control de quien es \( d \) y quien es \( c \), y simplemente estudiar \( f(d)-f'(c) \) es demasiado general.
Nota además que con estas definiciones la elevación es el área bajo la curva.
Entonces si se construye una función donde "en seguida se pase de convexidad a concavidad muy rápido y bruscamente se puede conseguir una elevación muy alta con curvatura muy alta.
Pero igualmente si se mantiene la función casi constante igual a cero hasta muy cerca del 1, y ahí se pasa bruscamente de convexidad a concavidad muy rápido, la curvatura sigue siendo muy alta pero la elevación es baja.
Con esto quiero decir que no hay, sin más datos, relación entre elevación y curvatura.
Saludos.
