[Gustavo]

Hola. Para \( \displaystyle\int \frac{1}{(3t^2+1)^2 }dt \) puedes hacer el cambio \( t= \dfrac{1}{\sqrt 3}\, \tan(\theta).   \)

[weimar]

Hola, hice el calculo y esa integral sale $$  \int_{0}^{1} \frac{12}{(3t^2+1)^2}=\frac{3}{2}+\frac{2\pi \sqrt{3}}{3}$$ siendo asi la integral
$$\int_{0}^{2\pi} \frac{9}{(2+\cos x)^2}dx= \frac{3}{2}+\frac{4\pi \sqrt{3}}{3}.$$ Lo extraño es que la respuesta dice que sale $$4 \sqrt{3}\pi $$ 

[Gustavo]

Hay un error en los límites de integración cuando haces la sustitución \( \tan(x/2)=t  \) ya que no te debería quedar \( t \) entre \( 0 \) y \( 1 \). Nota que a medida que \( x \) se mueve entre \( 0 \) y \( 2\pi \), tenemos que \( \tan(x/2)  \) toma todos los reales y que hay una asíntota en \( x=\pi \). Así que

\begin{align*} 
\displaystyle \int_{0}^{2\pi}\dfrac{9}{(2+\cos x)^2}dx
&=\int_0^{\pi}\dfrac{9}{(2+\cos x)^2}dx+\int_{\pi}^{2\pi}\dfrac{9}{(2+\cos x)^2}dx \\
&=\int_0^\infty \dfrac{18(t^2+1) }{(3t^2+1)^2 } dt+\int_{-\infty}^0 \dfrac{18(t^2+1) }{(3t^2+1)^2 } dt \\
&= \int_{-\infty}^\infty \left( \dfrac{6}{3t^2+1}+\dfrac{12}{(3t^2+1)^2 } \right)dt \\
&= 2\int_{0}^\infty \dfrac{6}{3t^2+1}dt + 2\int_{0}^\infty \dfrac{12}{(3t^2+1)^2}dt \\
&= 2\sqrt3 \pi+ 2\sqrt 3\pi = 4\sqrt 3 \pi.
\end{align*}

Todas las integrales impropias que aparecen son claramente convergentes, así que no hay problema con las manipulaciones hechas.

[ciberalfil]

Uff ... parecía facilita.

Salu2 

[weimar]

Hay un error en los límites de integración cuando haces la sustitución \( \tan(x/2)=t  \) ya que no te debería quedar \( t \) entre \( 0 \) y \( 1 \). Nota que a medida que \( x \) se mueve entre \( 0 \) y \( 2\pi \), tenemos que \( \tan(x/2)  \) toma todos los reales y que hay una asíntota en \( x=\pi \). Así que

\begin{align*} 
\displaystyle \int_{0}^{2\pi}\dfrac{9}{(2+\cos x)^2}dx
&=\int_0^{\pi}\dfrac{9}{(2+\cos x)^2}dx+\int_{\pi}^{2\pi}\dfrac{9}{(2+\cos x)^2}dx \\
&=\int_0^\infty \dfrac{18(t^2+1) }{(3t^2+1)^2 } dt+\int_{-\infty}^0 \dfrac{18(t^2+1) }{(3t^2+1)^2 } dt \\
&= \int_{-\infty}^\infty \left( \dfrac{6}{3t^2+1}+\dfrac{12}{(3t^2+1)^2 } \right)dt \\
&= 2\int_{0}^\infty \dfrac{6}{3t^2+1}dt + 2\int_{0}^\infty \dfrac{12}{(3t^2+1)^2}dt \\
&= 2\sqrt3 \pi+ 2\sqrt 3\pi = 4\sqrt 3 \pi.
\end{align*}

Todas las integrales impropias que aparecen son claramente convergentes, así que no hay problema con las manipulaciones hechas.

Muy agradecido,