[Dark]

Demuestre que la serie \( \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}(\sqrt[ ]{n^{\alpha}+1}-\sqrt[ ]{n^{\alpha}}) \) converge si \( \alpha>2 \) y diverge si \( \alpha=2 \)

La idea que tengo es utilizar el criterio del cociente y para eso me quedaría lo siguiente:

\( \displaystyle\lim_{n \to{}\infty}\frac{\sqrt[ ]{(n+1)^{\alpha}+1}-\sqrt[ ]{(n+1)^{\alpha}}}{\sqrt[ ]{n^{\alpha}+1}-\sqrt[ ]{n^{\alpha}}} \)

Pero si \( \alpha>2 \) no veo que me resulte muy útil para trabajar ese límite. Pero si \( \alpha=2 \) entonces el límite sería igual a:

\( \displaystyle\lim_{n \to{}\infty}{(\sqrt[ ]{(n+1)^2+1}-(n+1))(\sqrt[ ]{n^2+1}+n)} \)

Pero también tendría una indeterminación de \( \infty-\infty \)

Entonces no sé si haya otro camino, otro criterio para demostrarlo.

[Masacroso]

Pista: multiplica y divide cada sumando por su conjugado, es decir, por \( \sqrt{n^{\alpha }+1}+\sqrt{n^{\alpha }} \).

[Dark]

Me quedaría de la siguiente manera

\( \displaystyle\lim_{n \to{}\infty}{(\sqrt[ ]{(n+1)^{\alpha}+1}-\sqrt[ ]{(n+1)^{\alpha}})(\sqrt[ ]{n^{\alpha}+1}+n^{\alpha})} \)

Pero también tendría una indeterminación de \( \infty-\infty \)

[delmar]

Hola

Creo entender que Masacroso se refiere a multiplicar por el conjugado del término original, que se encuentra en la serie es decir al multiplicar queda de esta manera :

\( \sum_{n=0}^\infty{\frac{1}{\sqrt[ ]{n^{\alpha}+1}+\sqrt[ ]{n^{\alpha}}}} \) puedes utilizar primero el hecho que para que la serie converga necesariamente el límite de la sucesión de la serie ha de ser cero y luego la comparación por paso al límite, comparando con la serie \( \sum_{}^{}\frac{1}{n^s} \) la que converge si y solo si s>1, es una forma.


Saludos

[Dark]

Hice lo siguiente y pude demostrar el ejercicio. Primero demostré que la serie \( \displaystyle\sum_{}^{}\frac{1}{\sqrt[ ]{n^{\alpha}}} \) converge si y solo si \( \alpha >2 \). Luego por el criterio de comparación que dice que si \( \left\{{a_n}\right\}\geq{0} \) y \( b_n>0 \) entones \( \displaystyle\lim_{n \to{}\infty}{\frac{a_n}{b_n}}=L\neq 0 \vee \infty  \) entonces \( \displaystyle\sum_{}^{}a_n \) converge si y solo si \( \displaystyle\sum_{}^{}b_n \) converge.

tomando \( a_n=\frac{1}{\sqrt[ ]{n^{\alpha}}} \) y \( b_n=\frac{1}{\sqrt[ ]{n^{\alpha}+1}+ \sqrt[ ]{n^{\alpha}}} \) llegaría a que \( \displaystyle\lim_{n \to{}\infty}{\frac{\sqrt[ ]{n^{\alpha}+1}+ \sqrt[ ]{n^{\alpha}}}{\sqrt[ ]{n^{\alpha}}}}=2 \)

por tanto \( \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{\sqrt[ ]{n^{\alpha}+1}+\sqrt[ ]{n^{\alpha}}} \) conerge si y solo si \( \alpha>2 \)