Buenas tardes.
Me he topado con el siguiente problema que, aun siendo básico, me ha suscitado dudas.
Sea \( h \) una función que cumple \( h(x)\rightarrow{-\infty} \) cuando \( x\rightarrow{+\infty} \) ¿Qué puede decirse del límite \( \displaystyle \lim_{x \to{+\infty}}{{h(x)}^{h(x)}} \)?
En un principio yo pensé que el límite no tiene por qué existir. Por ejemplo tomando \( h(x)=-x \) tendríamos \( \displaystyle \lim_{x \to{+\infty}}{{(-x)}^{-x}} \) y esta función solo está definida para valores de x negativos, por lo que no tiene sentido hallar su límite en \( +\infty \). No obstante, otros razonamientos que he visto hacen algo así:
\( (-\infty)^{(-\infty)}=\frac{1}{(-\infty)^{\infty}} \)
y como \( \infty ^\infty \) tiende a \( \infty \) entonces \( \frac{1}{(-\infty)^{\infty}} \) tiende a 0. Es decir, el límite vale 0.
Agradezco cualquier indicación que me aporte un poco de claridad en este límite, y ya de paso calcular un poco más formalmente su valor, si es que existe.
Gracias y un saludo.
