Hola! Estoy intentando hacer el siguiente problema, pero no veo exactamente cómo abordarlo.
Sea \( P \) una medida de probabilidad en \( \mathbb{R} \) y sea \( \lambda \) la medida de Lebesgue en \( \mathbb{R} \). Se pide probar que, para todo \( \varepsilon>0 \), se verifica
\( \displaystyle \int_{\mathbb{R}} P(x,x+\varepsilon] d\lambda=\varepsilon \)
Había pensado en transformar
\( P(x,x+\varepsilon] = \int_{x}^{x+\varepsilon} dP \)
y hacer algún cambio en las integrales iteradas, pero no parece que eso vaya a funcionar muy bien. ¿Alguna idea?
Muchas gracias.
EDITO
Si la medida de probabilidad es absolutamente continua respecto a la medida de Lebesgue, se me ocurre hacer una utilización un tanto marrullera del teorema de Radon-Nikodym para expresar
\( \displaystyle P(x,x+\varepsilon] = \int_{x}^{x+\varepsilon} dP = \int_{x}^{x+\varepsilon} \cfrac{dP}{d\lambda} d\lambda \)
y así intercambiar (sin ningún tipo de justificación más allá de que necesito hacerlo) las integrales
\( \displaystyle \int_{\mathbb{R}} \int_{(x,x+\varepsilon]} \cfrac{dP}{d\lambda} d\lambda d\lambda = \int_{(x,x+\varepsilon]}\int_{\mathbb{R}} \cfrac{dP}{d\lambda} d\lambda d\lambda \)
Como la medida \( P \) es una probabilidad, la integral de dentro vale \( 1 \). Entonces:
\( \displaystyle \int_{(x,x+\varepsilon]}\int_{\mathbb{R}} \cfrac{dP}{d\lambda} d\lambda d\lambda = \int_{(x,x+\varepsilon]} d\lambda = \lambda (x,x+\varepsilon] = \varepsilon \)
Pero no sé cómo formalizar esto para hacerlo rigurosamente, y si tengo que comprobar alguna hipótesis del teorema de Fubini (y sobre todo si puedo asumir continuidad absoluta de la medida de probabilidad).
Muchas gracias otra vez.
