Dados un espacio de probabilidad \( (\Omega,\Sigma,\mu) \), una variable aleatoria \( X:\Omega\longrightarrow \mathbb{R} \), y una sub-sigma-algebra \( \mathcal{G}\subseteq\Sigma \), se define \( Z=E(X|\mathcal{G}) \) como la variable aleatoria \( \mathcal{G} \)-medible tal que \( \int_{G}Z d\mu=\int_{G}X\;d\mu \) para todo \( G\in\mathcal{G} \). Dicha variable \( Z \) es única casi seguramente
Teniendo en cuenta la definición, no es dificil encarar el ejercicio: \( E(X|\mathcal{G}) \) es \( \mathcal{G} \)-medible (y en particular, es \( \mathcal{F} \)-medible, pues \( \mathcal{G}\subseteq\mathcal{F} \)). Además, por definición de \( E(X|\mathcal{F}) \),
\( \int_{F}E(X|\mathcal{F})d\mu=\int_{F}X\;d\mu \) para todo \( F\in\mathcal{F} \) (en particular, para todo \( F\in\mathcal{G} \))
Mirando atentamente la definición de esperanza condicional que he escrito y las demás observaciones que hice, las dos implicaciones de tu ejercicio se tornan evidentes
PD: ups, perdón, no miré que ya resolviste una implicación
