[Steven_Math]

Buenas noches, he tratado de realizar los siguientes ejercicios preparatorios para un examen del curso de topología general y me han hecho falta solo estos dos ejercicios, si alguien me puede ayudar a resolverlos se lo agradecería mucho:

1) Sea \( (X,\leq) \) un conjunto parcialmente ordenado (no necesariamente linealmente ordenado). Un ideal de orden en \( X \) es un subconjunto \( J \) de \( X \) que satisface la siguiente condición:
Para todo \( a \in{J} \) y \( x\in{X} \), si \(  x \leq{a} \), entonces \( x \in{J} \).

a) Demuestre que la colección \( \tau \) de todos los ideales de orden de \( X \) es una base para una
topología en \( X \). Denotemos a la topología generada por esta base como \( \lambda_{X} \).

b) Demuestre que si \( (X,\leq) \) es tal que la topología \( \lambda_{X} \) satisface el axioma \( T_{1} \), entonces cualesquiera dos elementos diferentes de \( X \) son incomparables.

c) Suponga que \( (X, \leq_{X}) \) y \( (Y, \leq_{Y}) \) son conjuntos parcialmente ordenados y dotemos a \( X \) y \( Y \) de las topologías \( \lambda_{X} \) y \( \lambda_{Y} \) , respectivamente. Sea \( f : X \to Y \) una función. Demuestre que \( f \) es continua si y solo si \( f \) es creciente (es decir, que para todo \( a, b \in{X} \), si \( a \leq_{X} b \), entonces \( f(a) \leq_{Y} f(b) \).

2) Sea \( X \) un conjunto no vacío y \( \emptyset \neq A \subseteq X \). Considere la topología en \( X \) siguiente:

                                            \( \tau_{A}^{X}=\{{U\subseteq{X} \ : \ A\subseteq{U}}\}\cup \{{\emptyset}\} \)

Describa la clausura, el interior y el derivado, con respecto a la topología \( \tau_{A}^{X} \), de todos los
subconjuntos de \( X \).

[Luis Fuentes]

Hola

Buenas noches, he tratado de realizar los siguientes ejercicios preparatorios para un examen del curso de topología general y me han hecho falta solo estos dos ejercicios, si alguien me puede ayudar a resolverlos se lo agradecería mucho:

1) Sea \( (X,\leq) \) un conjunto parcialmente ordenado (no necesariamente linealmente ordenado). Un ideal de orden en \( X \) es un subconjunto \( J \) de \( X \) que satisface la siguiente condición:
Para todo \( a \in{J} \) y \( x\in{X} \), si \(  x \leq{a} \), entonces \( x \in{J} \).

a) Demuestre que la colección \( \tau \) de todos los ideales de orden de \( X \) es una base para una
topología en \( X \). Denotemos a la topología generada por esta base como \( \lambda_{X} \).

Tienes que probar:

- Que cualquier \( x\in X \) está en un elemento de la base, es decir, en un ideal.

Pero simplemente nota que el propio \( X \) es un ideal.

- Que dados \( J_1,J_2 \) ideales y \( x\in J_1\cap J_2 \) existe otro ideal \( J_3 \) tal que \( x\in J_3\subset J_1\cap J_2 \).

Pero comprueba que la intersección de ideales es ideal y toma \( J_3=J_1\cap J_2. \)

b) Demuestre que si \( (X,\leq) \) es tal que la topología \( \lambda_{X} \) satisface el axioma \( T_{1} \), entonces cualesquiera dos elementos diferentes de \( X \) son incomparables.

Dados \( x,y\in X \) distintos por ser \( T_1 \) existen abiertos básicos \( J_1,J_2 \) tal que \( x\in J_1 \), \( x\not\in J_2 \), \( y\not\in J_1 \), \( y\in J_2 \).

Ahora supón que \( x<y \). Entonces como \( y\in J_2 \) y \( x<y \) por definición de ideal \( x\in J_2 \). ¡Contradicción!.

Análogamente descarta que \( y<x \).

c) Suponga que \( (X, \leq_{X}) \) y \( (Y, \leq_{Y}) \) son conjuntos parcialmente ordenados y dotemos a \( X \) y \( Y \) de las topologías \( \lambda_{X} \) y \( \lambda_{Y} \) , respectivamente. Sea \( f : X \to Y \) una función. Demuestre que \( f \) es continua si y solo si \( f \) es creciente (es decir, que para todo \( a, b \in{X} \), si \( a \leq_{X} b \), entonces \( f(a) \leq_{Y} f(b) \).

Supongamos que es creciente y veamos que es continua.

Dado \( I \) ideal de \( Y \) debemos de probar que \( f^{-1}(I) \) es un abierto en \( X \).

Para ello supón que \( a\in f^{-1}(I) \). Tomamos \( J=\{x\in X|x\leq a\} \). Comprueba que es un ideal y que \( J\subset f^{-1}(I) \).

Para esto último nota que por ser creciente:

\( x\leq a\quad \Rightarrow{}\quad f(x)\leq f(a)\in I \)

y por ser \( I \) ideal \( f(x)\in I \).

Ahora supón que es continua y prueba que es creciente. Dados \( a< b \) considera:

\( I=\{y\in Y|y\leq f(b)\} \) ideal de \( Y \)

Entonces por ser continua \( f^{-1}(I) \) es abierto en \( X \). Como \( b\in f^{-1}(I) \) existe ideal \( J \) en \( X \) tal que \( b\in J\subset f^{-1}(I) \).

Como \( a<b \) entonces \( a\in J\subset f^{-1}(I) \) y así \( f(a)\in I \), es decir, \( f(a)\leq f(b) \).

2) Sea \( X \) un conjunto no vacío y \( \emptyset \neq A \subseteq X \). Considere la topología en \( X \) siguiente:

                                            \( \tau_{A}^{X}=\{{U\subseteq{X} \ : \ A\subseteq{U}}\}\cup \{{\emptyset}\} \)

Describa la clausura, el interior y el derivado, con respecto a la topología \( \tau_{A}^{X} \), de todos los
subconjuntos de \( X \).

Los abiertos son el vacío y los conjuntos que contienen a \( A \).

Por tanto los cerrados son el total, y los subconjuntos del complementario de \( A \).

El interior de un conjunto es el mayor abierto dentro de él. Si contiene a \( A \), el mismo conjunto es el mayor tal abierto. Si no contiene a \( A \), ningún conjunto dentro de él será abierto.

La clausura es el menor cerrado que contiene a un conjunto. Si el conjunto tiene algún elemento de \( A \), el único cerrado que lo contiene es \( X \).

Haz tu el derivado.

Saludos.

[Steven_Math]

Muchas gracias Luis Fuentes por tu gran ayuda, te lo agradezco mucho. Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

Luis Fuentes, el ejercicio 1) Entendí bien la idea. Pero en el ejercicio 2) no entendí como llegar a la conclusión que llegaste, por ejemplo: que los abiertos son vacío y los conjuntos que contienen a A.

Pero eso es simplemente porque no lo están diciendo cuando definen la topología:

2) Sea \( X \) un conjunto no vacío y \( \emptyset \neq A \subseteq X \). Considere la topología en \( X \) siguiente:

                                            \( \tau_{A}^{X}=\{{U\subseteq{X} \ : \ A\subseteq{U}}\}\cup \{{\emptyset}\} \)

Los abiertos son los conjuntos de la familia \( \tau_{A}^{X} \), es decir los conjuntos \( U \) tales que \( A\subset U \), es decir, los conjuntos que contienen a \( A \). Y además el vacío.

Saludos.

[Steven_Math]

 No me había fijado bien que los elementos de la topología son abiertos y por tanto sus complementos son cerrados, para calcular el derivado tomé un subconjunto \( B\subseteq{X} \) y realicé distintos casos
Si \( B=\emptyset \) claramente su derivado es vacío.
Si \( A\not\subset{B} \) entonces como \( B \) es cerrado, se tiene que  \( B'\subseteq{B} \), pero no tengo idea de como encontrar el derivado exacto en este caso, ni en el caso cuando \( A\subseteq{B} \) (En este caso \( B \) es abierto en \( X \)) traté de hacerlo tomando un punto cualquiera de \( B \) y mirar si es punto límite, es decir, si intersecta a una vecindad de ese punto con el conjunto \( B \) quitándole ese punto. Si podrías darme una idea en alguno de estos casos como hallar el derivado, te lo agradecería

[Luis Fuentes]

Hola

No me había fijado bien que los elementos de la topología son abiertos y por tanto sus complementos son cerrados, para calcular el derivado tomé un subconjunto \( B\subseteq{X} \) y realicé distintos casos
Si \( B=\emptyset \) claramente su derivado es vacío.
Si \( A\not\subset{B} \) entonces como \( B \) es cerrado, se tiene que  \( B'\subseteq{B} \), pero no tengo idea de como encontrar el derivado exacto en este caso, ni en el caso cuando \( A\subseteq{B} \) (En este caso \( B \) es abierto en \( X \)) traté de hacerlo tomando un punto cualquiera de \( B \) y mirar si es punto límite, es decir, si intersecta a una vecindad de ese punto con el conjunto \( B \) quitándole ese punto. Si podrías darme una idea en alguno de estos casos como hallar el derivado, te lo agradecería

Ten en cuenta que dado un punto \( x\in X \), cualquier abierto \( U \) que contenga a \( x \) también contiene a \( A \), que es abierto. Además si \( x\not\in A \), entonces \( \{x\}\cup A\subset U \) es abieto.

Deduce que \( x\in B' \) si:

- \( x\not\in A \) y \( A\cap B\neq \emptyset \).
- \( x\in A \) y \( A-\{x\}\cap B\neq \emptyset \).

Concluye que:

- Si \( cardinal(A\cap B)=\emptyset \) entonces \( B'=\emptyset \).
- Si \( cardina(A\cap B)=1 \) entonces \( B'=A^c \).
- Si \( cardina(A\cap B)>1 \) entonces \( B'=X \).

Saludos.

[Steven_Math]

De verdad muchas gracias Luis Fuentes por tu gran ayuda, saludos.