[ronny]

Tenemos 40 montones de monedas, uno de los cuales está compuesto íntegramente por monedas falsas. sabemos que cada moneda auténtica pesa 10 gramos y que cada moneda falsa pesa 9 gramos. Tenemos una báscula electrónica que proporciona el peso con una precisión absoluta. ¿ Cuál es el número mínimo de mediciones necesarias para averiguar qué montón es el que contiene las monedas falsas?

[Luis Fuentes]

Hola

Tenemos 40 montones de monedas, uno de los cuales está compuesto íntegramente por monedas falsas. sabemos que cada moneda auténtica pesa 10 gramos y que cada moneda falsa pesa 9 gramos. Tenemos una báscula electrónica que proporciona el peso con una precisión absoluta. ¿ Cuál es el número mínimo de mediciones necesarias para averiguar qué montón es el que contiene las monedas falsas?

Si tenemos suficiente número de monedas en los montones puede hacerse en una sola pesada.

Se numeran los montones desde el \( 1 \) a \( 40 \) y se van tomando \( n \) monedas del montón enésimo. Se pesan todas juntas obteniendo un peso \( p \).

El número total de monedas tomadas es:

\( 1+2+\ldots+40=\dfrac{1+40}{2}\cdot 40=820 \)

Si todas fuesen verdaderas pesarían \( 8200 \) gramos. Pero si en el montón \( n_0 \) están las monedas falsas el peso total será precisamente \( n_0 \) gramos menos. Dicho de otra manera el montón donde están las falsas es \( n_0=8200-p \).

Saludos.

[ronny]

Pero el número mínimo de mediciones, cuál sería?
Gracias y un saludo

[Luis Fuentes]

Hola

Pero el número mínimo de mediciones, cuál sería?
Gracias y un saludo

Pues:

Si tenemos suficiente número de monedas en los montones puede hacerse en una sola pesada.

La suposición de que tenemos suficiente número de monedas en cada montón es razonable tal como está enunciado el problema (la alusión a "montón" evoca suficientes monedas).

Saludos.

[feriva]

Pero el número mínimo de mediciones, cuál sería?

Lo que dice Luis es que tomas 1 bola del 1º montón, 2 bolas del 2º montón, 3 bolas del 3º... y las apartas de los montones para, después, echarlas todas juntas a la balanza. Entonces, como cada bola falsa pesa un gramo menos que las normales, si por ejemplo fuera  el 4º montón el de las falsas, faltarían 4 gramos del total respecto de lo que sumarían todas las bolas que has tomado si fueran verdaderas.

Por la fórmula de la progresión aritmética las que has tomado son

\( \dfrac{n(n+1)}{2}
  \) con n=40, de donde salen 820 canicas.

Si todas fueran verdaderas pesarían \( 820\cdot10=8200
  \) gramos.

Pero si suponemos eso, que el 4º por ejemplo es el de las falsas, habrá 4 falsas y entonces faltarán cuatro gramos, es decir, bastará restar el peso obtenido de 8200 y la diferencia de gramos será el número que se corresponderá con el montón.

Saludos.