[Eparoh]

Hola a todos, estoy intentando comprender una demostración sobre la existencia y unicidad de geodésicas radiales, y hay ciertos aspectos que no llego a entender.
La proposición concreta y la demostración son estas, la pongo completa para que se entienda el contexto de mis dudas concretas.

Spoiler

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He subrayado en amarillo las partes que no entiendo bien.

1. En primer lugar, no entiendo por que, por ser \( \alpha\left([0,1] \right) \) compacto se puede encontrar un abierto \( V_0 \) en \( V \) que verifique que \( \alpha\left([0,1] \right) \subset V_0 \) y \( \overline{V_0} \subset V \).

2. En segundo lugar, veo que \( U \) debe ser conexo pues es un conjunto estrellado, pero no veo el porque el hecho de que \( \overline{U_0} \subset U  \) implique que este es conexo, o que sea conexo de por si por cualquier otra razón.

3. Por último, no entiendo porque si \( w \not \in U_0 \) de la conexidad de \( U_0, U \) y de que sea \( U \) estrellado respeto de \( 0_2 \), se deduzca que debe existir un \( t_0 \leq 1 \) tal que \( t_0 w \not \in U_0 \) pero \( t_0 w \in U \).

Un saludo, y muchas gracias por las respuestas.

[geómetracat]

1. En primer lugar, no entiendo por que, por ser \( \alpha\left([0,1] \right) \) compacto se puede encontrar un abierto \( V_0 \) en \( V \) que verifique que \( \alpha\left([0,1] \right) \subset V_0 \) y \( \overline{V_0} \subset V \).

Esto es porque una variedad, siendo metrizable, es normal y Hausdorff. Si quieres, puedes probar el resultado directamente de manera bastante fácil: considera la distancia en \( S \) inducida por la métrica riemanniana. Como \( \alpha\left([0,1] \right) \) es compacto y \( S-V \) es cerrado, \( r := d(\alpha\left([0,1] \right), S-V) > 0 \). Ahora considera el entorno abierto de \( \alpha([0,1]) \) de radio \( r/2 \). Esto es un abierto tal que su clausura está contenida en \( V \).

2. En segundo lugar, veo que \( U \) debe ser conexo pues es un conjunto estrellado, pero no veo el porque el hecho de que \( \overline{U_0} \subset U  \) implique que este es conexo, o que sea conexo de por si por cualquier otra razón.

Para esto tienes que tomar \( V_0 \) conexo. Si no lo es de entrada, puedes redefinir \( V_0 \) como la componente conexa que contiene a \( \alpha([0,1]) \) (que es conexo). Una vez te has asegurado de que \( V_0 \) es conexo, \( U_0 \) también lo será por ser la imagen de \( V_0 \) por un homeomorfismo, y como la clausura de un conexo es conexa también lo será \( cl U_0 \).

3. Por último, no entiendo porque si \( w \not \in U_0 \) de la conexidad de \( U_0, U \) y de que sea \( U \) estrellado respeto de \( 0_2 \), se deduzca que debe existir un \( t_0 \leq 1 \) tal que \( t_0 w \not \in U_0 \) pero \( t_0 w \in U \).

Sea \( t_0 \) el supremo de los reales positivos \( t \) tales que el segmento recto \( [0,tw] \) está contenido en \( U_0 \). Como \( w \notin U_0 \), tenemos que \( t_0 \leq 1 \) y \( t_0w \in cl U_0 \subset U \). Igual se me escapa algo pero no veo que sea necesario asumir que \( U \) es estrellado.

[Eparoh]

Hola, muchas gracias por la respuesta.

1. En primer lugar, no entiendo por que, por ser \( \alpha\left([0,1] \right) \) compacto se puede encontrar un abierto \( V_0 \) en \( V \) que verifique que \( \alpha\left([0,1] \right) \subset V_0 \) y \( \overline{V_0} \subset V \).

Esto es porque una variedad, siendo metrizable, es normal y Hausdorff. Si quieres, puedes probar el resultado directamente de manera bastante fácil: considera la distancia en \( S \) inducida por la métrica riemanniana. Como \( \alpha\left([0,1] \right) \) es compacto y \( S-V \) es cerrado, \( r := d(\alpha\left([0,1] \right), S-V) > 0 \). Ahora considera el entorno abierto de \( \alpha([0,1]) \) de radio \( r/2 \). Esto es un abierto tal que su clausura está contenida en \( V \).

Tengo dos dudas aquí.
La primera es que no se realmente lo que es la métrica riemanniana, pero lo que has comentado podría realizarse también con la métrica definida por la distancia intrínseca, ¿verdad?.
Y, respecto a lo que resalté en rojo, no entiendo a que te refieres con un entorno de \( \alpha([0,1]) \) de radio \( r/2 \), quiero decir que no se lo que es un entorno de un conjunto con cierto radio.

Respecto al resto, observando la última respuesta, no entiendo para que en la demostración hace énfasis en la conexión de \( U \) y \( U_0 \). Quiero decir, ¿sería correcto finalizar la prueba sustituyendo la primera parte del penúltimo párrafo por lo siguiente?

Si \( w \not \in U_0 \), definiendo \( T=\{t \in \mathbb{R}: [0, tw] \subset U_0\} \), observamos que \( T \) no es vacío pues \( 0 \in T \) y está acotado superiormente por \( 1 \) al ser \( w \not \in U_0 \), luego existe \( t_0=\sup T \) siendo \( t_0 \leq 1. \)
Además, \( t_0w \not \in U_0 \) pues en caso de hacerlo, como \( U_0 \) es abierto en \( U \), luego en \( \mathbb{R}^2 \) por ser \( U \) abierto, existiría un \( r>0 \) tal que \( B(t_0w,r) \subset U_0 \), y así tomando \( 0<\varepsilon<\frac{r}{ \left\|{w}\right\|} \), se tiene que \( (t_0+\varepsilon)w \in B(t_0w,r) \) y así \( [0, (t_0+\varepsilon)w] \subset U_0 \) y tenemos una contradicción con que \( t_0 \) es supremo de \( T \).
También, \( t_0w \in \overline{U_0} \subset U \) pues dada \( B(t_0w,r) \), tomando el mismo \( \varepsilon \) que antes (y asegurando que es menor que \( t_0 \)), \( (t_0-\varepsilon)w \in B(t_0w,r) \), y \( (t_0-\varepsilon)w \in U_0 \) pues \( [0, (t_0-\varepsilon)w] \subset U_0 \) al ser \( t_0 \) supremo de \( T \).

Y de nuevo, muchas gracias por todo.

[geómetracat]

Tengo dos dudas aquí.
La primera es que no se realmente lo que es la métrica riemanniana, pero lo que has comentado podría realizarse también con la métrica definida por la distancia intrínseca, ¿verdad?.

Es la métrica que tienes en la variedad (o superfície). Si trabajas con superfícies en \( R^3 \) es la métrica inducida de la de \( R^3 \). La distancia asociada entre dos puntos es entonces el ínfimo de las longitudes de los caminos que unen esos puntos. No sé si es a esto a lo que te refieres por distancia intrínseca. Pero en realidad no es importante qué distancia tomes, como la superfície es metrizable, te basta tomar cualquier distancia que induzca la topología de la superfície.

Y, respecto a lo que resalté en rojo, no entiendo a que te refieres con un entorno de \( \alpha([0,1]) \) de radio \( r/2 \), quiero decir que no se lo que es un entorno de un conjunto con cierto radio.

Es \( \{x \in S \mid \exists y \in \alpha([0,1]) \, d(x,y) < r \} \), el conjunto de todos los puntos que distan menos de \( r \) de algún punto de \( \alpha([0,1]) \).

Respecto al resto, observando la última respuesta, no entiendo para que en la demostración hace énfasis en la conexión de \( U \) y \( U_0 \). Quiero decir, ¿sería correcto finalizar la prueba sustituyendo la primera parte del penúltimo párrafo por lo siguiente?

Si \( w \not \in U_0 \), definiendo \( T=\{t \in \mathbb{R}: [0, tw] \subset U_0\} \), observamos que \( T \) no es vacío pues \( 0 \in T \) y está acotado superiormente por \( 1 \) al ser \( w \not \in U_0 \), luego existe \( t_0=\sup T \) siendo \( t_0 \leq 1. \)
Además, \( t_0w \not \in U_0 \) pues en caso de hacerlo, como \( U_0 \) es abierto en \( U \), luego en \( \mathbb{R}^2 \) por ser \( U \) abierto, existiría un \( r>0 \) tal que \( B(t_0w,r) \subset U_0 \), y así tomando \( 0<\varepsilon<\frac{r}{ \left\|{w}\right\|} \), se tiene que \( (t_0+\varepsilon)w \in B(t_0w,r) \) y así \( [0, (t_0+\varepsilon)w] \subset U_0 \) y tenemos una contradicción con que \( t_0 \) es supremo de \( T \).
También, \( t_0w \in \overline{U_0} \subset U \) pues dada \( B(t_0w,r) \), tomando el mismo \( \varepsilon \) que antes (y asegurando que es menor que \( t_0 \)), \( (t_0-\varepsilon)w \in B(t_0w,r) \), y \( (t_0-\varepsilon)w \in U_0 \) pues \( [0, (t_0-\varepsilon)w] \subset U_0 \) al ser \( t_0 \) supremo de \( T \).

Yo creo que está bien. No creo que sea necesaria ni la conexidad ni que sea estrellado, al fin y al cabo solamemte te interesa lo que pase en el segmento que va de 0 al primer punto que se sale de \( U_0 \).

Y de nuevo, muchas gracias por todo.

De nada. 

[Eparoh]

Hola,

Es la métrica que tienes en la variedad (o superfície). Si trabajas con superfícies en \( R^3 \) es la métrica inducida de la de \( R^3 \). La distancia asociada entre dos puntos es entonces el ínfimo de las longitudes de los caminos que unen esos puntos. No sé si es a esto a lo que te refieres por distancia intrínseca. Pero en realidad no es importante qué distancia tomes, como la superfície es metrizable, te basta tomar cualquier distancia que induzca la topología de la superfície.

Si, con la métrica intrínseca me refería justo a esa, así es como nos la han definido y después hemos visto que efectivamente induce la topología relativa a la superficie.

Es \( \{x \in S \mid \exists y \in \alpha([0,1]) \, d(x,y) < r/2 \} \), el conjunto de todos los puntos que distan menos de \( r \) de algún punto de \( \alpha([0,1]) \).

Entonces, si entiendo bien, denotando dicho conjunto por \( V_0 \), será abierto pues dado \( x \in V_0 \), si \( x \in \alpha([0,1]) \) entonces \( B_d(x,r/2) \subset V_0 \); y si \( x \not \in \alpha([0,1]) \), entonces existe cierto \( y \in \alpha([0,1]) \) tal que \( 0<d(x,y)<r/2 \), y tomando \( 0<\varepsilon<r/2-d(x,y) \) se tiene que \( B_d(x,\varepsilon) \subset V_0 \) pues si \( z \) es un elemento de dicha bola, tendremos que

\( d(z,y) \leq d(z,x)+d(x,y)<\varepsilon+d(x,y)<r/2 \)

Y, \( \overline{V_0} \subset V \) pues dado \( \bar{x} \in \overline{V_0} \) se tiene que existe cierto \( x \in V_0 \) tal que \( B_d(\bar{x},r/2) \), luego si es \( y \in \alpha([0,1]) \) tal que \( d(x,y)<r/2 \) tenemos que

\( d(\bar{x},y) \leq d(\bar{x},x)+d(x,y)<r \)

luego \( \bar{x} \not \in S \setminus V \), es decir, \( \bar{x} \in V \).

Yo creo que está bien. No creo que sea necesaria ni la conexidad ni que sea estrellado, al fin y al cabo solamemte te interesa lo que pase en el segmento que va de 0 al primer punto que se sale de \( U_0 \).

Vale, eso me había parecido. De hecho, antes de preguntar por aquí pensé algo parecido empleando el supremo de un conjunto de ese tipo, solo que lo descarté en seguida pues estaba obcecado en que la conexidad tenía que jugar algún papel 

Como siempre, muchas gracias por tu tiempo 

[geómetracat]

Está todo bien. Para ver que \( V_0 \) es abierto es más corto observar que es una unión de bolas abiertas:
\( \displaystyle V_0 = \bigcup_{y \in \alpha([0,1])} B(y, r/2). \)

[Eparoh]

Está todo bien. Para ver que \( V_0 \) es abierto es más corto observar que es una unión de bolas abiertas:
\( \displaystyle V_0 = \bigcup_{y \in \alpha([0,1])} B(y, r/2). \)

Cierto, más simple así.
Gracias.