[lindtaylor]

Sea \( s > 2 \) y sea \( A_s \) el conjunto de los \( x\in [0, 1] \) con la propiedad de que hay
una infinidad de enteros positivos \( n \) tal que para algún entero \( m \in [0, n],\ |x -\dfrac{m}{n}|<\dfrac{1}{n^s}. \)

Pruebe que \( \mu(A_s) = 0 \), donde \( \mu \) es la medida de Lebesgue

[Luis Fuentes]

Hola

Sea \( s > 2 \) y sea \( A_s \) el conjunto de los \( x\in [0, 1] \) con la propiedad de que hay
una infinidad de enteros positivos \( n \) tal que para algún entero \( m \in [0, n],\ |x -\dfrac{m}{n}|<\dfrac{1}{n^s}. \)

Pruebe que \( \mu(A_s) = 0 \), donde \( \mu \) es la medida de Lebesgue

Para cada \( n \) sea:

\( B_n=[0,1]\cap \displaystyle\bigcup_{m=0}^n\left(\dfrac{m}{n}-\dfrac{1}{n^s},\dfrac{m}{n}+\dfrac{1}{n^s}\right) \)

Entonces:

\( A_s=\displaystyle\bigcap_{n\in \mathbb{N}}\bigcup_{k\geq n}B_k \)

Nota que:

\( \mu(B_n)\leq \dfrac{2(n+1)}{n^s} \)

y dado que \( s>2 \) la serie \( \displaystyle\sum_{n=1}^\infty{}\dfrac{2(n+1)}{n^s} \) es convergente.

Concluye...

Saludos.

[lindtaylor]

Gracias ex manco.
Como la serie es convergente, tengo que \( \sum_{n\geq 0} \mu(A_n)=\sum_{n\geq 0} \frac{2(n+1)}{n^s}<\infty \) y por el ejercicio anterior que pregunté en este mismo foro (ver aquí http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=103577.0) (que de hecho es el lema de borel canteli) se tiene que \( \mu(A_s)=0 \)

[Luis Fuentes]

Hola

Gracias ex manco.
Como la serie es convergente, tengo que \( \sum_{n\geq 0} \mu(A_n)\color{red}=\color{black}\sum_{n\geq 0} \frac{2(n+1)}{n^s}<\infty \) y por el ejercicio anterior que pregunté en este mismo foro (ver aquí http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=103577.0) (que de hecho es el lema de borel canteli) se tiene que \( \mu(A_s)=0 \)

Sólo un detalle. Es:

\( \sum_{n\geq 0} \mu(A_n)\color{red}\leq \color{black}\sum_{n\geq 0} \frac{2(n+1)}{n^s}<\infty \)

Saludos.