Hola necesitaría ayuda para resolver este ejercicio.
Sea \( R \) : \( \mathbb{R}^2 \) \( \longrightarrow{} \) \( \mathbb{R}^2 \) tal que \( (x,y) R (a,b) \) \( \Longleftrightarrow{}a^2 -b = a^2 - y \)
Supongo que debe ser
\( (x,y) R (a,b) \) \( \Longleftrightarrow{}a^2 -b = x^2 - y \)
1) Demostrar que \( R \) es de equivalencia.
Yo entiendo que lo que me dice que el par (x,y) se relaciona con el punto (a,b) mediante la expresión escrita mas arriba.
Al pedirme que demuestre que R es de equivalencia tengo que probar que R cumple la propiedad idéntica, reflexiva y transitiva.
No me doy cuenta cómo poder demostrar eso.
No se si es que tengo que sustituir por x=a e y=b y si se cumple la igualdad se cumple la identidad. Y en el caso de la reflexiva hacer (b,a) y chequear que se verifica la igualdad. Pero no se estoy algo confundido.
Tienes que comprobar que la relación es Reflexiva, simétrica y Transitiva:
1. Reflexiva: \( \forall{}(x, y) \in{}\mathbb{R}^2, (x, y)R(x, y) \)
Efectivamente, pues \( x^2 - y = x^2 - y \)
2. Simétrica \( \forall{}(x, y), (a, b) \in{}\mathbb{R}^2, (x, y)R(a, b)\;\Longleftrightarrow{}(a, b) R(x, y) \)
Igual de sencillo pues \( x^2 - y = a^2 - b\;\Longleftrightarrow{}\;a^2-b=x^2-y \)
3. Transitiva: \( \forall{}(x, y), (a, b), (z, t) \in{}\mathbb{R}^2, (x, y)R(a, b) \wedge (a, b) R (z, t) \;\Longrightarrow{}(x, y) R(z, t) \)
Nuevamente es inmediato: \( a^2 - b = x^2 - y \wedge z^2 - t = a^2 - b\;\Longrightarrow{} z^2 - t = x^2 - b \)
Al basarse la definición de R en una igualdad, es inmediato, ya que la igualdad es reflexiva, simétrica y transitiva.
Las clases de equivalencia son los conjuntos de puntos \( (x, y) \) pertenecientes a cada parábola \( x^2 - y = c, c\in{}\mathbb{R} \), y el conjunto cociente es el conjunto de dichas parábolas, que se puede poner en correspondencia biunívoca con \( \mathbb{R} \)
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Saludos,
