Otro medio tirado de la galera , a ver que opinan.
Hola, sera que me puede ayudar a deducir la ecuación del tiempo de vaciado para un recipiente con un liquido viscoso y con un área trapezoidal? Gracias. . . . .
Si $$h$$ la altura del líquido medida desde el fondo. La sección varía linealmente entre $$S_v=S_{vacio}$$ (en $$h=0$$) y $$S_l=S_{lleno}$$ (en $$h=H$$):
$$S(h)=S_v+(S_l-S_v)\dfrac{h}{H}$$
Si supongo flujo laminar y aplico la Ley de Poiseville, el caudal de salida tiene variación de presión hidrostática $$\Delta P=\rho g h$$ y despreciando la altura $$(2r)$$ del propio orificio frente a $$h$$
$$Q=\dfrac{\pi r^4\ \Delta P}{8\eta L}=\dfrac{\pi r^4\rho g}{8\eta L}\ h\equiv k\ h \qquad\to\ k=\dfrac{\pi r^4\rho g}{8\eta L}$$
El volumen volumen se conserva
$$S(h)\ \dfrac{dh}{dt}=-k\ h\quad\Rightarrow\quad dt=-\dfrac{S(h)}{k\ h}\ dh$$
Hay que separar variables e integrar desde $$h=H$$ (t = 0) hasta $$h=x$$ en tiempo t
$$t=\dfrac{1}{k}\int_H^x -\dfrac{S_v+(S_l-S_v)h/H}{h}\,dh$$
$$\int_H^x -\dfrac{S_v+(S_l-S_v)h/H}{h}\,dh=S_v\ln\dfrac{H}{x}+(S_l-S_v)\left(1-\dfrac{x}{H}\right)$$
entonces
$$\boxed{t=\dfrac{8\eta L}{\pi r^4\rho g}\left[S_v\ln\dfrac{H}{x}+(S_l-S_v)\left(1-\dfrac{x}{H}\right)\right]}$$
Donde $$\eta$$ es la viscosidad $$\rho$$ la densidad del fluido $$r$$ el radio del orificio de salida y $$L$$ la longitud de ese orificio o bien el espesor del contenedor.
Si $$x=H$$entonces $$t=0$$
Para $$x\to 0$$ el tiempo diverge, no se vacía completo en tiempo finito , pues cuando queda poca altura menos fluye, el caudal se anula con la diferencia de presión $$\equiv$$ diferencia de altura.
Si $$S_l=S_v=S$$ (recipiente cilíndrico o de cualquier sección constante con la altura): $$t=\dfrac{8\eta L S}{\pi r^4\rho g}\ln\dfrac{H}{x}$$
para conseguir tiempo finito hay que fijar un $$x>0$$
Podría resolverlo también para el fluido en régimen turbulento, pero me lo pienso un poco mas, las pérdidas de carga hay que buscarlas en tablas de fluidos en función de la viscosidad o el número de Reynolds, ya no es tan directo por falta de datos, pero los puedo inventar.
