[Michel]

Demostrar que en todo cuadrilátero, los segmentos que unen los puntos medios de los lados opuestos se cortan en sus puntos medios.


PISTA. Los puntos medios de la lados de un cuadrilárero son vértices de un paralelogramo

[Michel]

Se sabe (ha salido en varios problemas y se demuestra fácilmente - propongo que se haga la demostración) que los puntos medios de los lados de cuadrilátero son vértices de un paralelogramo.

A partir de aquí el problema es inmediato.

[ingmarov]

Hola Mich

Creo que este lo he resuelto un par de veces pero no lo memorizo, así cada vez me parece nuevo.

Spoiler

Tazamos la diagonal AC y notamos que los triángulos ABC y QBP son semejantes ya que comparten un ángulo interno (B) y por tener un par de lados proporcionales
\( \dfrac{AB}{QB}=\dfrac{CB}{PB}=2 \)

Por tanto los segmentos AC y PQ son paralelos. (Tales)

Lo mismo podemos afirmar de los segmentos AC y MN. Por lo que los segmentos QP y MN son paralelos.


Luego trazando la diagonal BD  y actuando de manera similar a lo anterior podemos probar que los segmentos QM y PN son paralelos.

Por lo que MNPQ es un paralelogramo y sus diagonales se cruzan en sus puntos medios.

[cerrar]

Saludos