[Estudiantee]

Hola, será fallo mío de lectura pero he encontrado unas pocas fórmulas de error de Simpson compuestas. Dejo el ejercicio para que me echen una mano.


  Averiguar el número de subintervalos necesarios para que,
al usar la fórmula compuesta de Simpson, el error sea inferior a \( 10^{-3} \) para aproximar la integral \( \displaystyle\int_{1}^{2}\displaystyle\frac{1}{x}dx \)

 Yo lo que he visto entre mis apuntes, internet es lo siguiente

  \( E=b-a \cdot{\displaystyle\frac{h^4}{180}}\cdot{max||f''''||} \)

 Donde \( h=\displaystyle\frac{b-a}{n} \) y f'''' el máximo en valor absoluto de la derivada cuarta de f que a mi me da 6

Entonces llego a que el número de subintervalos es 1, que a mi me parece muy extraño, pero bueno, así es equivocarse.

 Saludos y gracias.

[mathtruco]

Hola Estudiantee.

El error efectivamente es \( (b-a)\dfrac{h^4}{180}\displaystyle\max_{\psi\in [1,2]}|f''''(\psi)| \), pero

    \( \dfrac{d^4}{dx^4}\dfrac{1}{x}=\dfrac{24}{x^5} \), y su máximo en ese intervalo es 24.

Te recomiento calcular la cuadratura y verificar que efectivamente los cálculos del error que obtienes son los que dice la teoría.

[Estudiantee]

Ah, es que yo calcule el máximo de la tercera derivada, lo confundí porque como es de grado 4 creía que esa era la cuarta derivada (cuando es la tercera). Entonces me da que el número de intervalos es 8, ya que llego a que \( N\leq{8.333} \).

 A qué te refieres con calcular la cuadratura?

 Saludos y gracias.

[mathtruco]

Me refiero a que calcules el valor de la integral exacta y el valor de la integral dada por la cuadratura (por el método numérico) y con eso calcules el error real y verifiques que el error real es menor o igual a \( 10^{-3} \). Es un buen ejercicio (de programación) y te servirá para entender el método.

[Estudiantee]

Ahh entendido, hacerlo para 8 subintervalos sería tedioso a mano.

 Gracias.

[mathtruco]

Efectivamente, sería tedioso, y si quieres luego hacer el cálculo de la cuadratura con 7 o 9 intervalos tendrías que hacer todos los cálculos nuevamente, eso sí que sería odioso. La programación te permitirá reciclar el código sin esfuerzo para analizar otros problemas. Si lo escribes bien te servirá tanto para el método de los trapecios como el de Simpson (nota que sólo habría que modificar una línea).

Al menos yo, no me quedo tranquilo hasta programarlo

[mathtruco]

El gráfico que construyó hace unas horas ilarrosa te puede ser útil: Integración numérica: suma inferior, superior, trapecios, Simpson.

[Ignacio Larrosa]

Hola Estudiantee.

El error efectivamente es \( (b-a)\dfrac{h^4}{180}\displaystyle\max_{\psi\in [1,2]}|f''''(\psi)| \), pero

    \( \dfrac{d^4}{dx^4}\dfrac{1}{x}=\dfrac{24}{x^5} \), y su máximo en ese intervalo es 24.

Te recomiento calcular la cuadratura y verificar que efectivamente los cálculos del error que obtienes son los que dice la teoría.

El error queda \( E = (b-a)\dfrac{h^4}{180}\displaystyle\max_{\psi\in [1,2]}|f''''(\psi)|= (2-1)\dfrac{h^4}{180}24 = \dfrac{2}{15}h^4 \). Para que sea \( E < 10^{-3} \), resulta h < 0.2942, lo que nos lleva a \( n \geq{} 4 \).

Y efectivamente, como puedes comprobar, como te indica mathtruco, en Integración numérica: suma inferior, superior, trapecios, Simpson, para \( n = 4 \), la suma de Simpson da \( 0.69325 \), mientras que el verdadero valor de la integral definida es \( \ln 2 \approx{}0.69315 \), cumpliéndose de sobre la acotación del error. De hecho casi llegaría con el mínimo, n = 2.

Saludos,